多种期权知识点介绍与损益结构模拟

- 前言
- 一：期权基础知识介绍
- 二：期权定价理论简介期权定价要素
- 三：普通香草期权的payoff组合
- 四：障碍奇异期权的payoff
- 五：总结

前言

期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具（属于衍生品投资），理论和实践辨明，只要投资者合理地选择其手中证券和相应的衍生物比例，就可以获得无风险收益。期权这一类衍生品定价规则从上世纪70年代诞生出，为金融衍生市场提供了更大的繁荣与保证。

本篇文章将先介绍些期权的各种基本知识，剩下主要是学习下多种期权的payoff知识以及模拟它们的过程。

一：期权基础知识介绍

期权定义

1：买入期权：又称看涨期权（敲入期权），它是赋予期权持有者在给定的时间内（或在此时间的任意时刻）按规定价格买入一定数量某些资产的权利的一种法律合同
2：卖出期权：又称看跌期权（敲出期权），它是赋予期权持有者在给定的时间内（或在此时间的任意时刻）按规定价格卖出一定数量某些资产的权利的一种法律合同

行权方式

1：欧式行权：当行权观察日仅为到期日，该期权为欧式期权
2：美式行权：当期权期限内的每一天都为可提前行权观察日时，该期权变为美式期权
3：百慕大期权：一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权，其到期支付结构与欧式期权行相同

期权种类

根据期权交易场所不同分为场内期权和场外期权
1：场内期权：有标准化合约如商品期权白糖、豆粕期权等等、金融期权如50ETF等等
2：场外期权：非标准化合约如中证500指数期权、个股期权等等

根据标的资产不同有金融期权和实物期权
1：金融期权：普通期权如股票期权、外汇期权、利率期权、股票指数期权等等，嵌入式期权如可赎回证券、可退还证券、可转换证券等都包含有期权等等
2：实物期权：实物期权的标的资产是各种实物资产如铜、煤等等

根据期权种类可分为普通香草期权和奇异期权
1：普通香草期权：就是我们经常遇见的最标准的欧式、美式期权等等
2：奇异期权：奇异期权是比常规期权更复杂的衍生证券，这些产品通常是场外交易或嵌入结构债券，如二元期权、障碍期权、双鲨期权、雪球期权、凤凰期权等等

期权的平价组合

买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格的依赖关系，这种依赖关系就称为买入、卖出期权平价。以普通欧式期权为例，考察一下这种平价关系。
设 $S$ 为股票价格， $C$ 为买入期权价格， $P$ 为卖出期权价格， $E$ 为行权价， $S_T$ 为到期日股票价格， $t$ 为到行权日时间， $r$ 为市场利率。假设某投资者现在以价格 $C$ 出售一单位买入期权，以价格 $P$ 购入一单位卖出期权，以 $S$ 价格购入一单位期权标的股票，以利率 $r$ 借入一笔借期为 $t$ 的现金，按照贴现公式有金额为 $Ee^{-rt}$ 。以上的权利义务在到期日全部结清，在不考虑交易成本和税收情况下，投资者的现金在到期日的现金流量表如下：

由上表发现无论价格如何变化，组合价值为0。由于上述组合为无风险投资组合，所以期末价值为0。假设市场无套利机会，那么它的期初价值必然为0。即 $C+S=P+Ee^{-rt}$ 。这就是期权的平价公式。

二：期权定价理论简介期权定价要素

由于此篇文章重点在payoff理论学习，这里只做简单总结。但我们开始还是不得不对著名的伊藤公式做些介绍与推理。

对于布朗运动 $\{B_t,t\geq0\}$ 和伊藤过程 $dx_t=a(x,t)dt+b(x,t)dB_t$ ，

设 $f (x, t)$ 为定义在 $[0,\infty]\times R$ 上的二元连续可微函数，那么对于连续

不可微的 $dB_t$ 而言，由泰勒展开我们有

$df(x,t)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx_t)^2+o(|dx_t|dt)(1)$ ，

对于微分 $dx_t)^2$ 我们变形有

$dx_t)^2=a^2dtdt+2abdtdB_t+b^2dB_tdB_t$ ,再由伊藤等距性质有

$dx_t)^2=b^2(x_t,t)dt+o(dt)$ ，

带入上式 $（ 1 ）$ 式最终有

$df(x,t)=\left( \frac{\partial f}{\partial x}a+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}b^2 \right)dt+\frac{\partial f}{\partial x}bdB_t+o(|dx_t|dt)$ #。

期权定价要素

影响期权价格和对冲策略的因素

在介绍这个内容之前，我们再介绍下期权（价格为 $C$ ）受到当前标的价格 $S$ 、执行价格 $K$ 、期权的期限 $T$ 、标的资产价格波动率 $\sigma^2$ 以及无风险利率 $r$ 这五个因素影响，期权对这五个因素的敏感程度称为期权的 $G r e e k s$ ，由上述 $（ 1 ）$ 式的伊藤公式，我们得知其计算公式有如下表示：

1：期权 $\delta(Delta)$ 是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看， $\delta$ 是期权价格对标的资产价格的偏导，有 $\delta=\frac{\partial C}{\partial S}$

2：期权 $\theta(Theta)$ 表示价格对于到期日的敏感程度，称为期权的时间损耗，有 $\theta=\frac{\partial C}{\partial\tau}$ ， $\theta>0$ 表示随着时间的推移带来盈利

3：期权 $\upsilon(Vega)$ 表示方差对期权价格的影响，有 $\upsilon=\frac{\partial C}{\partial\sigma}$ ，若 $\upsilon>0$ 表示随着方差率的增大，期权价格增大

4：期权 $\rho(Rho)$ 表示期权的价值随利率波动的敏感度，有 $\rho=\frac{\partial C}{\partial r}$ ，若利率增大，那么期权价值变大

5：期权 $\Gamma(Gamma)$ 表示 $\delta$ 与标的资产价格的变动关系，有 $\Gamma=\frac{\partial^2C}{\partial S^2}$ ，由于是平方项，没有方向性

期权的定价主要方法（简单罗列）

1：公式法：基于Black-Scholes推导的求解相关期权的解析法，优点在于比较直接，计算量小，但无解析解的无能为力，而且要很高深的数学理论支持

2：二叉树法：对于路径依赖或者没解析法的期权，此法优点在于简单直观，无需太深的数学知识，但计算量比较大

3：蒙特卡洛（包括最小二乘蒙特卡洛）：依据风险中性定价原则，尽可能模拟风险中性时间中标的资产的多种运动途径，计算每一条路径下的期权回报均值，再贴现就可以得到期权价值，虽比较“万能”，但要想精确，计算量是相当大的，尤其对于场外奇异期权的定价，很多时候都以此法作为根基

三：普通香草期权的payoff组合

对于香草期权，我们以欧式期权为例，对于到期持有者收益为

看涨期权： $m a x (S - K - c, - c)$ （注：这里的 $c$ 为期权合约价格，一般简化 $c = 0$ ）

看跌期权： $m a x (K - S - c, - c)$

我们用代码模拟上述结构收益与组合收益

import matplotlib.pyplot as pltimport pylab as mplimport numpy as npmpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']##中文乱码问题！plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#横坐标负号显示问题！s = list(range(0,200))##价格列表x = [i for i in range(1,len(s)+1)]ref = [0 for i in range(1,len(s))]loc = max(s) / 2k1 = 100k2 = 120p = 1###参与率c1 = -0##期权价格c2 = -0def makefigure(l,text,k,loc,c,ref):    plt.figure(figsize=(15, 8))    plt.plot(x,l)    plt.plot(ref)    plt.ylabel('Payoff',fontsize=18)    plt.xlabel('S',fontsize=18)    plt.title(text,fontsize=18)    plt.tick_params(labelsize=15)    plt.annotate('行权价：%s（c1=%s,c2=-5）'%(k,c), xy=(k,c), xytext=(k,loc),arrowprops=dict(arrowstyle="fancy"),fontsize=15)    return plt.show()def call_Vanillaoption(k,s,c=0):    ls = []    for i in s:        res = max(p * (i - k),0)        ls.append(res + c)    return lsresc = call_Vanillaoption(k1,s,c1)#makefigure(resc,'Call',k1,loc/2,c1,ref)def put_Vanillaoption(k,s,c=0):    ls = []    for i in s:        res = max(p * (k - i),0)        ls.append(res + c)    print(ls)    return lsresp = put_Vanillaoption(k2,s,c2)#makefigure(resp,'Put',k1,loc/2,c2,ref)

我们先出入一个最简单的看跌期权结果

图1

当行权价为100，执行价为120，期权合约价格0，参与率为1的看跌期权收益如上图1，当我们调整参与率为0.8，期权价格为-10时，图像变为如下图2，

图2

注：参与率就是参与这项交易的量的比例，如行权价格100，现资产价格120，正常一张欧式看跌期权赚20，但现在只有0.8张期权参与，即16，再减去合约价格10，最后净赚6！也就是 K-S 的斜率！

我们再来看欧式看跌与看涨期权的组合收益结构

###买入一张看涨一张看跌，行权价不同相同时（相同也同样如此）res = np.array(resc) + np.array(resp)makefigure(res,'Call+Put',k1,loc/2,c1,ref)

我们选择购买一张看涨期权的行权价为100，同时买一涨看跌期权行权价为120，合约价格为-20，参与率为1（如下不说明，正常都为1），看下payoff组合结果，

图3

解释：比如期权到期标的价格为0，那我们买入的看涨期权将作废，但买期权已经损失20，可是买入的看跌期权盈利120块，再减去两张合约价格为120-20-20=80；又比如到期标的价格为108，那么看涨期权将行权以100块买入108的标的资产，赚8元，看跌期权将以行权价120卖出资产赚12，但两张期权价格为40，则净赚20-40=-20（实际这种情况期权费远没这么高，这里只是出于模拟给的数值）。

我们再来看看同时买入一张期权价格为100和卖出一张期权价格为120，期权合约为10的payoff组合情况，

##买一张看涨，卖一张看涨期权的收益结构图tr1 = np.array(call_Vanillaoption(k1,s,c1))tr2 = - np.array(call_Vanillaoption(k2,s,c1))bsres = tr1 + tr2makefigure(bsres,'Call1-Call2',k1,max(bsres)/5,c1,ref)

图4

解释：由于是同时买入卖出，那么其实期权价格一出一入将抵消，那么当标的价格为50时，由于我们买入的期权将作废，但卖出的期权给了别人，行权价是120，所以别人也不会行权，两张期权其实都是虚值存在，没任何意义；若此时的标的价格为105，那么买入的行权价100的期权将赚5，但卖出的期权行权价为120，别人依旧不会行权。

最后我们买入一张行权价为100的看跌期权和卖出行权价为120的看跌期权，其中买的看跌期权价格为5，卖出的看涨期权为10，这种比较复杂的payoff组合如下图，

tr1 = np.array(put_Vanillaoption(k1,s,c2))tr2 = - np.array(call_Vanillaoption(k2,s,c1))bsres = tr1 + tr2makefigure(bsres,'Put1-Call2',k1,max(bsres)/5,c1,ref)

图5

四：障碍奇异期权的payoff

奇异期权种类很多，前面的内容也提到过一些，我们这里主要是对障碍期权做一些介绍。

障碍期权是指在其生效过程中受到一定限制的期权，其目的是把投资者的收益或损失控制在一定范围之内。单障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权是指当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废；敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。

同理还有多障碍期权，那就对应多个障碍价格，触及多个障碍条件来对应期权行权情况。

我们以欧式单障碍期权说起，来模拟对应的payoff，并根据图来写出payoff公式，这样更方便理解！

对于看涨期权，向下敲入和向上敲出本质是一样的！B<K没意义

图6

图6所示给的障碍价格为130，执行价格为100，合约价格为10的看涨期权，对于向下敲入（向上敲出）看涨期权，我们有payoff结构如下：

$payoff=max(S-K-c,-c),S<H;payoff=-c,S\geq H$

对于看涨期权，向上敲入和向下敲出本质是一样的！B和K的大小没有要求！

图7

图7所示给的障碍价格为120，执行价格为100，合约价格为10的看涨期权，对于向上敲入（向下敲出）看涨期权，我们有payoff结构如下：

$payoff=max(S-K-c,-c),S\geq H;payoff=-c,S< H$

对于看跌期权，向下敲入和向上敲出本质是一样的，B和K的大小没有要求！

图8

图8所示给的障碍价格为180，执行价格为150，合约价格为10的看跌期权，对于向下敲入（向上敲出）看跌期权，我们有payoff结构如下：

$H;payoff=-c,S\geq H$

对于看跌期权，向上敲入和向下敲出本质是一样的，B和K的大小没有要求！B>K没意义！

图9

图9所示给的障碍价格为50，执行价格为150，合约价格为10的看跌期权，对于向上敲入（向下敲出）看跌期权，我们有payoff结构如下：

$payoff=max(K-S-c,-c),S\geq H;payoff=-c,S< H$

给出模拟代码如下：

import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']##中文乱码问题！plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#横坐标负号显示问题！class barrieroption:    def __init__(self, s, k, pc, pp, c):  # 定义内置初始化函数        self.s = s        self.k = k        self.pc = pc        self.pp = pp        self.c = c        self.x = [i for i in range(1, len(s) + 1)]        self.ref = [0 for i in range(len(s))]    def makefigure(self,l,text,k,b,ly):        plt.figure(figsize=(15, 8))        plt.plot(self.x,l)        plt.plot(self.ref)        plt.ylabel('Payoff', fontsize=18)        plt.xlabel('S', fontsize=18)        plt.title(text, fontsize=18)        plt.tick_params(labelsize=15)        plt.annotate('行权价（K）：%s（c=%s）' % (k,c), xy=(k,c), xytext=(k,ly), arrowprops=dict(arrowstyle="fancy"),                     fontsize=15)        plt.annotate('障碍价（B）：%s（c=%s）' % (b,c), xy=(b-1,c), xytext=(b,ly/2.5),                     arrowprops=dict(arrowstyle='->'), fontsize=15)        return plt.show()    ###Call    def call_Vanillaoption(self):        ls = []        for i in s:            res = max(pc * (i - k),0)            ls.append(res + c)        return ls    #向上敲出call（向下敲入call）##b<k没意义    def upoutcall(self,tls,b):        for i in range(len(tls)):            if s[i] > b:                tls[i] = c            else:                pass        return tls    ##向上敲入call（向下敲出call）    def upincall(self,tls,b):        for i in range(len(tls)):            if s[i] <= b:                tls[i] = c            else:                pass        return tls    #######Put    def put_Vanillaoption(self):        ls = []        for i in s:            res = max(pp * (k - i),0)            ls.append(res + c)        return ls    ##向下敲入put（向上敲出put）    def downinput(self,tls,b):        for i in range(len(tls)):            if s[i] >= b:                tls[i] = c            else:                pass        return tls    # 向下敲出put(向上敲入put)b>k没意义    def downoutput(self,tls,b):        for i in range(len(tls)):            if s[i] < b:                tls[i] = c            else:                pass        return tlss = list(range(1,200))k = 150b1 = 130b2 = 120b3 = 180b4 = 50pc = 1###参与率pp = 1###参与率c = -10res = barrieroption(s, k, pc, pp, c)res11 = barrieroption.call_Vanillaoption(res)# res12 = barrieroption.upoutcall(res,res11,b1)# res13 = barrieroption.makefigure(res,res12,'Up-out-call&Down-in-call',k,b1,max(res12)/5)# res14 = barrieroption.upincall(res,res11,b2)# res15 = barrieroption.makefigure(res,res14,'Up-in-call&Down-out-call',k,b2,max(res14)/5)####################################res21 = barrieroption.put_Vanillaoption(res)# res22 = barrieroption.downinput(res,res21,b3)# res23 = barrieroption.makefigure(res,res22,'Down-in-put&Up-out-put',k,b3,max(res22)/5)res24 = barrieroption.downoutput(res,res21,b4)res25 = barrieroption.makefigure(res,res24,'Down-out-put&Up-in-put',k,b4,max(res24)/5)

五：总结

随着现代金融市场的不断完善，投资种类变得越发复杂，衍生品投资、另类投资、权益投资等等层出不穷。衍生品投资中的期权投资也是“水涨船高”，对应的一系列投资理论和实际操作更是一日千里。所以如今衍生品市场，学习期权理论是必然的，但就问题本身而解决问题的方法，是更重要的。

多种期权知识点介绍与损益结构模拟