牛顿法、梯度下降法与拟牛顿法

• 0 引言
• 1 关于泰勒展开式
• • 1.1 原理
  • 1.2 例子
• 2 牛顿法
• • 2.1 x 为一维
  • 2.2 x 为多维
• 3 梯度下降法
• 4 拟牛顿法
• • 4.1 拟牛顿条件
  • 4.2 DFP 算法
  • 4.3 BFGS 算法
  • 4.4 L-BFGS 算法

0 引言

机器学习中在求解非线性优化问题时，常用的是梯度下降法和拟牛顿法，梯度下降法和拟牛顿法都是牛顿法的一种简化

牛顿法是在一个初始极小值点做二阶泰勒展开，然后对二阶泰勒展开式求极值点，通过迭代的方式逼近原函数极值点

在牛顿法迭代公式中，需要求二阶导数，而梯度下降法将二阶导数简化为一个固定正数方便求解

拟牛顿法也是在求解过程中做了一些简化，不用直接求二阶导数矩阵和它的逆

1 关于泰勒展开式

1.1 原理

如果我们有一个复杂函数 $f(x)$, 对这个复杂函数我们想使用 n 次多项式（多项式具有好计算，易求导，且好积分等一系列的优良性质）去拟合这个函数，这时就可以对 $f(x)$进行泰勒展开，求某一点 x 0 x_0 x0​附近的 n 次多项式：

注意：
n 次多项式只是在 x 0 x_0 x0​ 较小的邻域内能较好拟合 $f(x)$，也就是说，泰勒展开式其实是一种局部近似的方法，只近似 x = x 0 x=x_0 x=x0​那一点的函数性

1.2 例子

现在要求 $f(x)=cos(x)$ 在 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0 处的二阶泰勒展开，因为我们去掉了高阶项，所以只是近似

直接套用公式
f ( x 0 ) = f ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 f(x_0)=f(0)=cos(0)=1 f(x0​)=f(0)=cos(0)=1
f ′ ( x 0 ) = f ′ ( 0 ) = − s i n ( 0 ) = 0 f'(x_0)=f'(0)=-sin(0)=0 f′(x0​)=f′(0)=−sin(0)=0
f ′ ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = − c o s ( 0 ) = − 1 f”(x_0)=f”(0)=-cos(0)=-1 f′′(x0​)=f′′(0)=−cos(0)=−1
所以展开后的公式为
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ∗ x + f ′ ′ ( x 0 ) ∗ x 2 / 2 = 1 − 0.5 ∗ x 2 f(x)≈f(x_0)+f'(x_0)*x+f”(x_0)*x^2/2=1-0.5*x^2 f(x)≈f(x0​)+f′(x0​)∗x+f′′(x0​)∗x2/2=1−0.5∗x2

从下方运行程序可以看出，离展开点越近的点，拟合程度越高，越远的点，越离谱

2 牛顿法

2.1 x 为一维

现在假设我们有目标函数 $f(x)$，我们希望求此函数的极小值，牛顿法的基本思想是：随机找到一个点设为当前极值点 x k x_k xk​，在这个点对 $f(x)$ 做二次泰勒展开，进而找到极小点的下一个估计值。在 x k x_k xk​ 附近的二阶泰勒展开为：

现在想求 $\phi (x)$ 的极值点，由极值的必要条件可知，$\phi (x)$ 应满足导数为 0，即：
φ ′ ( x ) = 0 \varphi'(x)=0 φ′(x)=0
即
φ ′ ( x ) = f ′ ( x k ) + f ′ ′ ( x k ) ( x − x k ) = 0 \varphi'(x)=f'(x_k)+f”(x_k)(x-x_k)=0 φ′(x)=f′(xk​)+f′′(xk​)(x−xk​)=0
这样就可以求得 x 的值
x = x k − f ′ ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x=x_k-\frac{f'(x_k)}{f”(x_k)} x=xk​−f′′(xk​)f′(xk​)​
于是给定初始值 x 0 x_0 x0​,就可以通过迭代的方式逼近$f(x)$的极值点：
x k + 1 = x k − f ′ ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f'(x_k)}{f”(x_k)} xk+1​=xk​−f′′(xk​)f′(xk​)​

如下图，首先在 x n x_n xn​ 处泰勒展开，得到$f(x)$ 的近似函数 g n ( x ) g_n(x) gn​(x) ，求得 g n ( x ) g_n(x) gn​(x) 的极值点 x n + 1 x_{n+1} xn+1​

随后在 x n + 1 x_{n+1} xn+1​ 出泰勒展开，得到 g n + 1 ( x ) g_{n+1}(x) gn+1​(x) 函数，继续求 g n + 1 ( x ) g_{n+1}(x) gn+1​(x) 的极值点

一直迭代最后就会逼近 $f(x)$ 的极值点

2.2 x 为多维

上面讨论的是参数 x 为一维的情况，当 x 有多维时，二阶泰勒展开式可以做推广，此时：
φ ( x ) = f ( x k ) + ∇ f ( x k ) ∗ ( x − x k ) + 1 2 ∗ ( x − x k ) T ∗ ∇ 2 f ( x k ) ∗ ( x − x k ) \varphi(x)=f(x_k)+\nabla{f(x_k)}*(x-x_k)+ \frac{1}{2}*(x-x_k)^T*\nabla^2{f(x_k)}*(x-x_k) φ(x)=f(xk​)+∇f(xk​)∗(x−xk​)+21​∗(x−xk​)T∗∇2f(xk​)∗(x−xk​)
其中 $\nabla f$为 $f$ 的梯度向量， ∇ 2 f \nabla^2{f} ∇2f为 $f$的海森矩阵（Hessian matrix）,其定义为：

$\phi (x)$对 x 向量求导并令其为 0 有：
∇ f ( x k ) + ∇ 2 f ( x k ) ∗ ( x − x k ) = 0 \nabla{f(x_k)}+\nabla^2{f(x_k)}*(x-x_k)=0 ∇f(xk​)+∇2f(xk​)∗(x−xk​)=0
于是有：
x = x k − [ ∇ 2 f ( x k ) ] − 1 ∇ f ( x k ) x=x_k-[\nabla^2{f(x_k)}]^{-1}\nabla{f(x_k)} x=xk​−[∇2f(xk​)]−1∇f(xk​)
通过迭代的方式能找到函数的极值点
牛顿法缺点：

• 函数必须具有一二阶偏导数，海森矩阵必须正定
• 计算相当复杂，除梯度外还需要计算二阶偏导数和逆矩阵

3 梯度下降法

在一维牛顿法中,迭代公式为：
x k + 1 = x k − f ′ ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f'(x_k)}{f”(x_k)} xk+1​=xk​−f′′(xk​)f′(xk​)​
这个公式缺点：

• 需要求二阶导数，有些函数求二阶导数之后就相当复杂了；
• 因为 f ′ ′ ( x n ) f”(x_n) f′′(xn​)的大小不定，所以$g(x)$开口方向不定，我们无法确定最后得到的结果究竟是极大值还是极小值

为了解决这两个问题，我们放弃二阶精度，即去掉 f ′ ′ ( x n ) f”(x_n) f′′(xn​)，改为一个固定的正数1/h:
φ ( x ) = f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) + 1 2 h ( x − x k ) 2 \varphi(x)=f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\frac{1}{2h}(x-x_k)^2 φ(x)=f(xk​)+f′(xk​)(x−xk​)+2h1​(x−xk​)2
该抛物线是一条开口向上的抛物线，通过求它的极值可以保证得到的是极小值。$\phi (x)$ 的极小值点为
x k − h f ′ ( x k ) x_k-hf'(x_k) xk​−hf′(xk​)
迭代公式为
x k + 1 = x k − h f ′ ( x k ) x_{k+1} = x_k-hf'(x_k) xk+1​=xk​−hf′(xk​)
对于高维空间就是
x k + 1 = x k − h ∇ ( x k ) x_{k+1} = x_k-h\nabla(x_k) xk+1​=xk​−h∇(xk​)

4 拟牛顿法

拟牛顿法的基本思想是：不用二阶偏导数而构造出可以近似海森矩阵的正定对称阵，在“拟牛顿”的条件下优化目标函数。不同的构造方法就产生了不同的拟牛顿法。

一些记号：
$\nabla f$ 记为 g 表示梯度， g k g_k gk​表示 ∇ f ( x k ) \nabla{f(x_k)} ∇f(xk​)

∇ 2 f \nabla^2{f} ∇2f 海森矩阵,记为 H, K k K_k Kk​表示 ∇ 2 f ( x k ) \nabla^2{f(x_k)} ∇2f(xk​)

用 B 表示对海森矩阵 H 本身的近似，D表示对海森矩阵的逆 H − 1 H^{-1} H−1的近似， 即 B ≈ H , D ≈ H − 1 B≈H, D≈H^{-1} B≈H,D≈H−1

4.1 拟牛顿条件

在经过 k+1 次迭代后得到 x k + 1 x_{k+1} xk+1​,此时目标函数$f(x)$在 x k + 1 x_{k+1} xk+1​处作泰勒二阶展开，得到：
f ( x ) ≈ f ( x k + 1 ) + ∇ f ( x k + 1 ) ∗ ( x − x k + 1 ) + 1 2 ∗ ( x − x k + 1 ) T ∗ ∇ 2 f ( x k + 1 ) ∗ ( x − x k + 1 ) f(x)≈f(x_{k+1})+\nabla{f(x_{k+1})}*(x-x_{k+1})+ \frac{1}{2}*(x-x_{k+1})^T*\nabla^2{f(x_{k+1})}*(x-x_{k+1}) f(x)≈f(xk+1​)+∇f(xk+1​)∗(x−xk+1​)+21​∗(x−xk+1​)T∗∇2f(xk+1​)∗(x−xk+1​)

两边对 x 求梯度有：
∇ f ( x ) ≈ ∇ f ( x k + 1 ) + H k + 1 ∗ ( x − x k + 1 ) (1) \nabla{f(x)} ≈ \nabla{f(x_{k+1})}+H_{k+1}*(x-x_{k+1}) \tag{1} ∇f(x)≈∇f(xk+1​)+Hk+1​∗(x−xk+1​)(1)
在式（1）中取 x = x k x=x_k x=xk​ ，整理可得：
g k + 1 − g k ≈ H k + 1 ∗ ( x k + 1 − x k ） (2) g_{k+1}-g_{k}≈H_{k+1}*(x_{k+1}-x_k）\tag{2} gk+1​−gk​≈Hk+1​∗(xk+1​−xk​）(2)
引入记号：
s k = x k + 1 − x k , y k = g k + 1 − g k s_k=x_{k+1}-x_k,y_k=g_{k+1}-g_{k} sk​=xk+1​−xk​,yk​=gk+1​−gk​
式 (2) 可以写为：
y k ≈ H k + 1 ∗ s k = > 简记为： y k ≈ B k + 1 ∗ s k y_k≈H_{k+1}*s_k =>简记为：y_k≈B_{k+1}*s_k yk​≈Hk+1​∗sk​=>简记为：yk​≈Bk+1​∗sk​
或者
s k ≈ H k + 1 − 1 ∗ g k = > 简记为： s k ≈ D k + 1 ∗ y k s_k≈H^{-1}_{k+1}*g_k=>简记为：s_k≈D_{k+1}*y_k sk​≈Hk+1−1​∗gk​=>简记为：sk​≈Dk+1​∗yk​
这就是所谓的拟牛顿条件，它对迭代过程中的海森矩阵做约束。

4.2 DFP 算法

参考:牛顿法与拟牛顿法学习笔记（三）DFP 算法

4.3 BFGS 算法

参考:牛顿法与拟牛顿法学习笔记（四）BFGS 算法

4.4 L-BFGS 算法

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（五）L-BFGS 算法
参考：
泰勒展开式的理解
牛顿法与拟牛顿法学习笔记（一）牛顿法
梯度下降和EM算法：系出同源，一脉相承
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