时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度
• • 1.时间复杂度概念
  • 2.大O的渐进表示法
  • 3.常见时间复杂度计算举例
  • • 例1
    • 例2
    • 例3
    • 例4
    • 例5
    • 例6
• 空间复杂度
• • 1.空间复杂度概念
  • 2.常见空间复杂度计算举例
  • 例1
  • 例2
  • 例3

时间复杂度

1.时间复杂度概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.常见时间复杂度计算举例

重要强调：时间复杂度不能直接数循环，要看算法思想

例1

// 计算Func2的时间复杂度？void Func2(int N){int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);}

F(N)=2*N+10
根据上面大O表示法规则该时间复杂度为：O(N)

例2

// 计算Func3的时间复杂度？void Func3(int N, int M){ int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++ k) { ++count; } for (int k = 0; k < N ; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count);}

F(N)=M+N
因为不知道M和N谁大，所以最终时间复杂度为O(M+N)

例3

// 计算Func4的时间复杂度？void Func4(int N){ int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count);}

该时间复杂度为O(1)
我们这里的O(1)并不是代表是1次，而是代表的是常数次。只要是常数次都用O(1)表示。

例4

// 计算strchr的时间复杂度？const char * strchr ( const char * str, int character );

该时间复杂度为O(N)
在时间复杂度中，通常假设数组/字符串长度为N

例5

// 计算BinarySearch的时间复杂度？int BinarySearch(int* a, int n, int x){ assert(a); int begin = 0; int end = n-1; // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号 while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid-1; else return mid; } return -1;}

该题是一个二分查找，如果在简单的数循环，那时间复杂度就是O(N)，但这个是错误的，我们要看算法的逻辑，算时间复杂度。

二分查找 每查找一次区间就少一半 ，最终查找就剩下一个元素
假设有N个元素，每次/2
N/2/2/2…/2=1

最好 一次就找到时间复杂度为O(1)

最坏 假设查找了x次 N/2/2…/2=1 有x个2 1x2x…x2=N
2^x=N x=log₂N 时间复杂度为O(log₂N)

例6

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？long long Fib(size_t N){ if(N < 3) return 1;  return Fib(N-1) + Fib(N-2);}

递归算法的时间复杂度=递归次数x每次递归函数的次数

这是一个等比数列 ，递归次数为2^N
每次递归函数中的次数为常数次
所以最终时间复杂度为O(2^N)

空间复杂度

1.空间复杂度概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.常见空间复杂度计算举例

注意：时间是累计的，空间是不累计的，可以重复利用的。

例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？void BubbleSort(int* a, int n){ assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; }}

临时变量有三个end,i,exchange;
空间复杂度为O(1)

例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？// 返回斐波那契数列的前n项long long* Fibonacci(size_t n){ if(n==0) return NULL;  long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray;}

申请了一个n+1空间，在加一个i
空间复杂度O(N)

例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？long long Fac(size_t N){if(N<3)return 1;elsereturn fac(N-1)+fac(N-2);}

递归空间复杂度通常是递归的深度,这里最能说明空间是不累计的，可以重复利用

一个函数栈帧调用完毕会把空间还给内存，然后在可以重复利用这个空间
所以最终空间复杂度是O(N)