文章目录

• 参考资料
• 1. 简介
• 2. 基本思想
• 3. 算法精讲
• 4. 算法步骤
• 5. python实现

参考资料

• 路径规划与轨迹跟踪系列算法
• 蚁群算法原理及其实现
• 蚁群算法详解（含例程）
• 图说蚁群算法(ACO)附源码
• 蚁群算法Python实现

1. 简介

蚁群算法（Ant Colony Algorithm, ACO） 于1991年首次提出，该算法模拟了自然界中蚂蚁的觅食行为。蚂蚁在寻找食物源时， 会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。 信息素浓度的大小表征路径的远近， 信息素浓度越高， 表示对应的路径距离越短。通常， 蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径， 并释放一定量的信息素， 以增强该条路径上的信息素浓度， 这样，会形成一个正反馈。 最终， 蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径， 即距离最短。

2. 基本思想

• 用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解， 整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。
• 路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多， 随着时间的推进， 较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高， 选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。
• 最终， 整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上， 此时对应的便是待优化问题的最优解。

3. 算法精讲

不失一般性，我们定义一个具有N个节点的有权图$G=(N,A)$，其中N表示节点集合$N=1,2,...,n$，A表示边，$A=(i,j)|i,j\in N$。节点之间的距离（权重）设为 ( d i j) n × n (d_{ij})_{n\times n}(dij​)n×n​，目标函数即最小化起点到终点的距离之和。

• 设整个蚂蚊群体中蚂蚊的数量为 $m$, 路径节点的数量为 $n$, 节点 $i$ 与节点 $j$ 之间的相互距离为 d i j( i , j = 1 , 2 , … , n ) , td_{i j}(i, j=1,2, \ldots, n), tdij​(i,j=1,2,…,n),t时刻节点 $i$ 与节点 $j$ 连接路径上的信息素浓度为 τ i j( t )\tau_{i j}(t)τij​(t) 。初始时刻, 各个节点间连接路径上的信息素浓度相同, 不妨设为 τ i j( 0 ) = τ0 \tau_{i j}(0)=\tau_{0}τij​(0)=τ0​。

• 蚂蚁 $k(k=1,2,\dots ,m)$ 根据各个节点间连接路径上的信息素浓度决定其下一个访问节点, 设 P i jk( t )P_{i j}^{k}(t)Pijk​(t) 表示 $t$ 时刻蚂蚊 $k$ 从节点 $i$ 转移到节点 $j$ 的概率, 其计算公式如下:
  P i jk= {[ τ ij (t)]α⋅ [ η ij (t)]β ∑ s∈ allow k[ τ is (t)]α⋅ [ η is (t)]βs ∈ allowk 0 s ∉ allowk(1) \tag{1} P_{i j}^{k}= \begin{cases}\frac{\left[\tau_{i j}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i j}(t)\right]^{\beta}}{\sum_{s \in \text { allow }_{k}}\left[\tau_{i s}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i s}(t)\right]^{\beta}} & s \in \text { allow }_{k} \\ 0 & s \notin \text { allow }_{k}\end{cases} Pijk​=⎩⎨⎧​∑s∈allowk​​[τis​(t)]α⋅[ηis​(t)]β[τij​(t)]α⋅[ηij​(t)]β​0​s∈allowk​s∈/​allowk​​(1)

  其中,

  • η ij (t)\eta_{i j}(t) ηij​(t) 为启发函数, η ij (t)=1/ d ij \eta_{i j}(t)=1 / d_{i j} ηij​(t)=1/dij​, 表示蚂蚊从节点 $i$ 转移到节点 $j$ 的期望程度，
  • allo w k(k=1,2,…,m)allow_{k}(k=1,2, \ldots, m) allowk​(k=1,2,…,m) 为蚂蚁$k$待访问节点的集合。开始时, allo w kallow_{k} allowk​中有(n-1)个元素,即包括除了蚂蚁$k$出发节点的其它所有节点。随着时间的推进, allow k_{k} k​ 中的元素不断减少, 直至为空, 即表示所有的节点均访问完毕。
  • $\alpha$ 为信息素重要程度因子, 其值越大, 蚂蚁选择之前走过的路径可能性就越大,搜索路径的随机性减弱, 其值越小,蚁群搜索范围就会减少,容易陷入局部最优。一般取值范围为$[0,5]$。
  • $\beta$ 为启发函数重要程度因子, 其值越大, 表示启发函数在转移中的作用越大, 即蚂蚊会以较大的摡率转移到距离短的节点，蚁群就越容易选择局部较短路径,这时算法的收敛速度是加快了，但是随机性却不高，容易得到局部的相对最优。一般取值范围为$[0,5]$。

• 计算完节点间的转移概率后，采用与遗传算法中一样的轮盘赌方法选择下一个待访问的节点。

  依据轮盘赌法来选择下一个待访问的节点， 而不是直接按概率大小选择，是因为这样可以扩大搜索范围，进而寻找全局最优，避免陷入局部最优。

  首先计算每个个体的累积概率 qj q_{j}qj​ ，如下式:
  qj= ∑ j = 1lP i jk (2) \tag{2} q_{j}=\sum_{j=1}^{l} P_{i j}^{k} qj​=j=1∑l​Pijk​(2)
  qj q_{j}qj​ 相当于转盘上的跨度，跨度越大的区域越容易选到，$l$代表下一步可选路径的数量。
  之后随机生成一个 $(0，1)$ 的小数$\mathrm{r}$，比较所有 qj q_{j}qj​ 与 $\mathrm{r}$ 的大小，选出大于 $r$ 的最小的那个 qj，q_{j} ，qj​， 该 qj q_{j}qj​ 对应的索引 $j$即为第 $\mathrm{k}$ 只蚂蚁在第$i$条路径时下一步要选择的目标点。
  r = rand ⁡ ( 0 , 1 ) j = index ⁡ {min⁡ [ qj> r ]} (3) \tag{3} \begin{gathered} r=\operatorname{rand}(0,1) \\ j=\operatorname{index}\left\{\min \left[q_{j}>r\right]\right\} \end{gathered} r=rand(0,1)j=index{min[qj​>r]}​(3)

• 在蚂蚁释放信息素的同时，各个节点间连接路径上的信息素逐渐消失,设参数$\rho (0<\rho <1，一般取值为0.1$~$0.99)$表示 信息素的挥发程度。当所有的蚂蚁完成一次循环后，各个节点间链接路径上的信息素浓度需进行更新，计算公式为
  {τ ij (t+1)=(1−ρ) τ ij (t)+Δ τ ij Δ τ ij = ∑ k=1nΔ τ ijk (4) \tag{4} \left\{\begin{array}{l} \tau_{i j}(t+1)=(1-\rho) \tau_{i j}(t)+\Delta \tau_{i j} \\ \Delta \tau_{i j}=\sum_{k=1}^{n} \Delta \tau_{i j}^{k} \end{array}\right. {τij​(t+1)=(1−ρ)τij​(t)+Δτij​Δτij​=∑k=1n​Δτijk​​(4)
  其中， Δ τ i jk \Delta \tau_{i j}^{k}Δτijk​表示第$k$只蚂蚁在节点$i$与节点$j$连接路径上释放的信息素浓度； Δ τ i j \Delta \tau_{i j}Δτij​表示所有蚂蚁在节点$i$与节点$j$连接路径上释放的信息素浓度之和。

• 蚂蚁信息素更新的模型包括蚁周模型（Ant-Cycle模型）、蚁量模型（Ant-Quantity模型）、蚁密模型（Ant-Density模型）等。

  区别：

  1. 蚁周模型利用的是全局信息，即蚂蚁完成一个循环后更新所有路径上的信息素；

  2. 蚁量和蚁密模型利用的是局部信息，即蚂蚁完成一步后更新路径上的信息素。

  	信息素增量不同	信息素更新时刻不同	信息素更新形式不同
  蚁周模型	信息素增量为Q/ L kQ/L_k Q/Lk​,它只与搜索路线有关与具体的路径(i,j)无关	在第k只蚂蚁完成一次路径搜索后,对线路上所有路径进行信息素的更新	信息素增量与本次搜索的整体线路有关,因此属于全局信息更新
  蚁量模型	信息素增量为Q/ d ij Q/d_{ij} Q/dij​,与路径(i,j)的长度有关	在蚁群前进过程中进行，蚂蚁每完成一步移动后更新该路径上的信息素	利用蚂蚁所走路径上的信息进行更新,因此属于局部信息更新
  蚁密模型	信息素增量为固定值Q	在蚁群前进过程中进行，蚂蚁每完成一步移动后更新该路径上的信息素	利用蚂蚁所走路径上的信息进行更新,因此属于局部信息更新

  蚁周模型的 Δ τ i jk \Delta \tau_{i j}^{k}Δτijk​计算公式如下
  Δ τ i jk= { Q / Lk, 第 k 只蚂蚁从城市 i 访问城市 j 0 ,其他 (5) \tag{5} \Delta \tau_{i j}^{k}= \begin{cases}Q / L_{k}, & \text { 第 } \mathrm{k} \text { 只蚂蚁从城市 } \mathrm{i} \text { 访问城市 } \mathrm{j} \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases} Δτijk​={Q/Lk​,0,​第k只蚂蚁从城市i访问城市j其他​(5)
  式中$Q$为信息素常数（一个正的常数），表示蚂蚁循环一次所释放的信息素总量。 Lk L_{k}Lk​为第k只蚂蚁经过路径的总长度。

4. 算法步骤

1. 对相关参数进行初始化，如蚁群规模（蚂蚁数量）$m$、信息素重要程度因子$\alpha$、启发函数重要程度因子$\beta$、信息素挥发因子$\rho$、信息素常数$Q$、最大迭代次数$itermax$。

2. 构建解空间，将各个蚂蚁随机地置于不同的出发点，为每只蚂蚁确定当前候选道路集

3. 更新信息素计算每个蚂蚁经过路径长度 Lk( k = 1 , 2 , … ， m )L_k(k=1,2,…，m)Lk​(k=1,2,…，m)，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时，对各个节点连接路径上信息素浓度进行更新。

4. 判断是否终止若$iter<itermax$，则令$iter=iter+1$，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2；否则，终止计算，输出最优解。

5. python实现

使用蚁群算法解决旅行商问题（TSP），代码来自博客。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 城市坐标(52个城市)coordinates = np.array([[565.0,575.0],[25.0,185.0],[345.0,750.0],[945.0,685.0],[845.0,655.0],[880.0,660.0],[25.0,230.0],[525.0,1000.0],[580.0,1175.0],[650.0,1130.0],[1605.0,620.0],[1220.0,580.0],[1465.0,200.0],[1530.0,5.0],[845.0,680.0],[725.0,370.0],[145.0,665.0],[415.0,635.0],[510.0,875.0],[560.0,365.0],[300.0,465.0],[520.0,585.0],[480.0,415.0],[835.0,625.0],[975.0,580.0],[1215.0,245.0],[1320.0,315.0],[1250.0,400.0],[660.0,180.0],[410.0,250.0],[420.0,555.0],[575.0,665.0],[1150.0,1160.0],[700.0,580.0],[685.0,595.0],[685.0,610.0],[770.0,610.0],[795.0,645.0],[720.0,635.0],[760.0,650.0],[475.0,960.0],[95.0,260.0],[875.0,920.0],[700.0,500.0],[555.0,815.0],[830.0,485.0],[1170.0, 65.0],[830.0,610.0],[605.0,625.0],[595.0,360.0],[1340.0,725.0],[1740.0,245.0]])def getdistmat(coordinates):num = coordinates.shape[0]distmat = np.zeros((52, 52))for i in range(num):for j in range(i, num):distmat[i][j] = distmat[j][i] = np.linalg.norm(coordinates[i] - coordinates[j])return distmat# #//初始化distmat = getdistmat(coordinates)numant = 45 ##// 蚂蚁个数numcity = coordinates.shape[0] ##// 城市个数alpha = 1 ##// 信息素重要程度因子beta = 5 ##// 启发函数重要程度因子rho = 0.1 ##// 信息素的挥发速度Q = 1 ##//信息素释放总量iter = 0##//循环次数itermax = 200#//循环最大值etatable = 1.0 / (distmat + np.diag([1e10] * numcity)) #// 启发函数矩阵，表示蚂蚁从城市i转移到矩阵j的期望程度pheromonetable = np.ones((numcity, numcity)) #// 信息素矩阵pathtable = np.zeros((numant, numcity)).astype(int) #// 路径记录表distmat = getdistmat(coordinates) #// 城市的距离矩阵lengthaver = np.zeros(itermax) #// 各代路径的平均长度lengthbest = np.zeros(itermax) #// 各代及其之前遇到的最佳路径长度pathbest = np.zeros((itermax, numcity)) #// 各代及其之前遇到的最佳路径长度#//核心点-循环迭代while iter < itermax:#// 随机产生各个蚂蚁的起点城市if numant <= numcity:#// 城市数比蚂蚁数多pathtable[:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:numant]else:#// 蚂蚁数比城市数多，需要补足pathtable[:numcity, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:]pathtable[numcity:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:numant - numcity]length = np.zeros(numant)# 计算各个蚂蚁的路径距离for i in range(numant):visiting = pathtable[i, 0]# 当前所在的城市unvisited = set(range(numcity))# 未访问的城市,以集合的形式存储{}unvisited.remove(visiting)# 删除元素；利用集合的remove方法删除存储的数据内容for j in range(1, numcity):# 循环numcity-1次，访问剩余的numcity-1个城市# 每次用轮盘法选择下一个要访问的城市listunvisited = list(unvisited)probtrans = np.zeros(len(listunvisited))for k in range(len(listunvisited)):probtrans[k] = np.power(pheromonetable[visiting][listunvisited[k]], alpha) \* np.power(etatable[visiting][listunvisited[k]], beta)cumsumprobtrans = (probtrans / sum(probtrans)).cumsum()cumsumprobtrans -= np.random.rand()k = listunvisited[(np.where(cumsumprobtrans > 0)[0])[0]]# 元素的提取（也就是下一轮选的城市）pathtable[i, j] = k# 添加到路径表中（也就是蚂蚁走过的路径)unvisited.remove(k)# 然后在为访问城市set中remove（）删除掉该城市length[i] += distmat[visiting][k]visiting = k# 蚂蚁的路径距离包括最后一个城市和第一个城市的距离length[i] += distmat[visiting][pathtable[i, 0]]# 包含所有蚂蚁的一个迭代结束后，统计本次迭代的若干统计参数lengthaver[iter] = length.mean()if iter == 0:lengthbest[iter] = length.min()pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()else:if length.min() > lengthbest[iter - 1]:lengthbest[iter] = lengthbest[iter - 1]pathbest[iter] = pathbest[iter - 1].copy()else:lengthbest[iter] = length.min()pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()# 更新信息素changepheromonetable = np.zeros((numcity, numcity))for i in range(numant):for j in range(numcity - 1):changepheromonetable[pathtable[i, j]][pathtable[i, j + 1]] += Q / distmat[pathtable[i, j]][pathtable[i, j + 1]]# 计算信息素增量changepheromonetable[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]] += Q / distmat[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]]pheromonetable = (1 - rho) * pheromonetable + \changepheromonetable# 计算信息素公式if iter%30==0:print("iter(迭代次数):", iter)iter += 1# 迭代次数指示器+1# 做出平均路径长度和最优路径长度fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=1, figsize=(12, 10))axes[0].plot(lengthaver, 'k', marker=u'')axes[0].set_title('Average Length')axes[0].set_xlabel(u'iteration')axes[1].plot(lengthbest, 'k', marker=u'')axes[1].set_title('Best Length')axes[1].set_xlabel(u'iteration')fig.savefig('average_best.png', dpi=500, bbox_inches='tight')plt.show()# 作出找到的最优路径图bestpath = pathbest[-1]plt.plot(coordinates[:, 0], coordinates[:, 1], 'r.', marker=u'$\cdot$')plt.xlim([-100, 2000])plt.ylim([-100, 1500])for i in range(numcity - 1):m = int(bestpath[i])n = int(bestpath[i + 1])plt.plot([coordinates[m][0], coordinates[n][0]], [ coordinates[m][1], coordinates[n][1]], 'k')plt.plot([coordinates[int(bestpath[0])][0], coordinates[int(n)][0]], [coordinates[int(bestpath[0])][1], coordinates[int(n)][1]], 'b')ax = plt.gca()ax.set_title("Best Path")ax.set_xlabel('X axis')ax.set_ylabel('Y_axis')plt.savefig('best path.png', dpi=500, bbox_inches='tight')plt.show()