目录

• 1 引言
• 2 什么是正态分布
• 2 正态分布的叠加性
• 3 正态分布的标准化
• 4 参考文献

1 引言

  正态分布又称为高斯分布，它在机器学习和深度学习中非常常用。如正态分布的叠加性和正态分布的标准化等，在VAE模型中重参技巧就用到了正态分布知识，特别是在高维数据中高维的正态分布更是常用。因此，准备梳理一下相应的知识，其中内容多有参考其他博客，一并在参考文献中给出链接。

2 什么是正态分布

  正态分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution）。若随机变量$X$服从一个数学期望（均值）为$\mu$、方差为 σ2 σ^2σ2的正态分布，记为 N ( μ , σ2)N(μ, σ^2)N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值$\mu$决定了其位置，其标准差$\sigma$决定了分布的幅度。当$\mu =0$, $\sigma =1$时的正态分布是标准正态分布。
一维正态分布的概率密度函数为：
f(x)= 12π σ exp⁡ (− ( x − μ )22 σ2 )f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(\frac{-(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) f(x)=2π ​σ1​exp(2σ2−(x−μ)2​)
高维正态分布后面再补坑…

2 正态分布的叠加性

  理论：相互独立的正态分布的线性组合仍然服从正态分布。

给定两个独立的正态分布 X1∼ N ( μ 1, σ 1 2) X_{1} \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)X1​∼N(μ1​,σ12​) 和 X2∼ N ( μ 2, σ 2 2) X_{2} \sim N \left( \mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)X2​∼N(μ2​,σ22​)，且$a$ $b$均为实数

则
a X+ b Y∼N ( a μ1+ b μ2, a2σ12+ b2σ22)\mathrm{aX}+\mathrm{bY} \sim {N}\left(\mathrm{a} \mu_1+b \mu_2,\mathrm{a}^{2} \sigma_1^2+b^2\sigma_2^2\right) aX+bY∼N(aμ1​+bμ2​,a2σ12​+b2σ22​)

a X+b∼N ( a μ1+ b , a2σ12)\mathrm{aX}+\mathrm{b} \sim {N}\left(\mathrm{a} \mu_1+b ,\mathrm{a}^{2} \sigma_1^2 \right) aX+b∼N(aμ1​+b,a2σ12​)

3 正态分布的标准化

  正态分布是由两个参数$\mu$μ与$\sigma$确定的。对于任意一个服从$N(\mu ,\sigma 2)$ 分布的随机变量$X$，经过下面的变换以后都可以转化为$\mu =0$和$\sigma =1$的标准正态分布。转换公式为:
z= X−μσ\mathrm{z}=\frac{\mathrm{X}-\mu}{\sigma} z=σX−μ​
举个例子：
假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于$1$来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布$X\sim N(170,62)$，求问车门的高度h hh为多少?

假设身高这一随机变量为$X$，那么要求的问题为:
$P(x>h)=0.01$
即
$1-P(x\le h)=0.01$

$P(x\le h)=0.99$

因为$X\sim N(170,62)$， 所以 h − 1706∼ N ( 0 , 1 )\frac{h – 170}{6} \sim N(0, 1)6h−170​∼N(0,1)

通过查标准正态分布表可知,$P(z\le 2.33)=0.99$
因此 $h=170+6\ast 2.33=183.98cm$

4 参考文献

[1]均匀分布叠加与正态分布叠加
[2]正态分布，正态分布如何变换为标准正态分布
[3]普通正态分布如何转换到标准正态分布
[4]PRML笔记 第二章 (多维)高斯分布