目录
1.用来做什么?
2.线性卡尔曼滤波
3.扩展卡尔曼滤波
4.无迹卡尔曼滤波
1.用来做什么?
——针对系统的不确定性：1.不存在完美的数学模型
2.系统的扰动不可控、也很难建模
3.测量传感器存在误差
例1：通过系统的状态方程得出的电流值i1，和传感器测得的电流值i2，由于不确定性的存在，两个值都不准确，所以i1和i2通过卡尔曼滤波算法算出其最接近真实值的值。
例2：如小红同学说今天老师穿的是红色的衣服（根据以往经验，每周四老师都穿红衣服，小红得出的结论），小白说老师今天穿的白色的衣服（看到一个像老师的人穿的白色的衣服，小白得出老师穿白色衣服的结论），通过卡尔曼滤波推算谁说话的权重更大，则推断出更应该相信谁的话。
2.线性卡尔曼滤波
系统真实方程为（状态方程的基础上存在噪声）：
先验估计（他叫这名）：
——这是系统状态方程（方程建立的不准确性）
——这是先验误差协方差（用来算卡尔曼增益）
——（注意：噪声满足,其中0是期望值，是协方差矩阵。这里是误差的期望/协方差（越接近0越好）。
后验估计（所要求的值）：
因为：——（传感器测量的不准确性）
——后验得到的值
——（真实值与后验估计误差的期望(目标期望为0)）
其目标为P的期望为0或方差最小（使后验估计与真实值误差最小），通过推导可以得到卡尔曼增益：
——(最小时求得的）
同时可以得到：
——(用来更新值）
3.扩展卡尔曼滤波
卡尔曼滤波主要用于分析线性系统。
扩展卡尔曼滤波主要用于分析非线性系统。（正态分布的随机变量通过非线性系统后就不再是正态的了） 。
扩展卡尔曼滤波——主要是通过泰勒级数一阶展开，将非线性系统线性化，之后的求取与线性化卡尔曼滤波一致。
非线性系统：
泰勒级数一阶展开式：
多维用雅克比矩阵
对非线性系统线性化。系统有误差，无法在真实点线性化，则在处线性化（为时的后验估计）
等于0（误差假设为0）雅克比矩阵雅克比矩阵。
在线性化：
,。
令，。
——线性化后的系统方程
先验估计：
后验估计：
标红部分为扩展和线性卡尔曼滤波的不同之处。
4.无迹卡尔曼滤波
由于扩展卡尔曼滤波可能存在线性化误差，且一般情况下雅克比矩阵不易实现，增加了算法的计算复杂度。
无迹卡尔曼滤波不采用泰勒展开实现非线性系统线性化，而是采用无迹变换（Unscented Transform，UT）来处理均值和协方差的非线性传递问题。（UKF算法是对非线性函数的概率密度分布进行近似，用一系列确定样本来逼近状态的后验概率密度，而不是对非线性函数进行近似，不需要对雅克比矩阵进行求导。）
无迹变换：
——（1）原状态分布中按某一规则选取一些采样点（其均值和方差等于原状态分布的均值和方差）
—— （2）将点带入非线性方程中（求取变换后的均值和协方差）
以对称分布采样的UT变换为例。设一个非线性变换。状态向量为维随机变量，已知其均值和方差。通过UT变换得到2n+1个sigma点和相应的权值。
（1）计算2n+1个sigma点，即采样点
表示矩阵方根的第列。注意应确保为半正定矩阵。
设:
,
则：
,——与对称
合并起来就是9个sigma点：
sig1 sig2 sig3 sig4 sig5 sig6 sig7 sig8 sig9
（2）计算采样点相应的权值
将9个sigma点带入非线性方程得到新的sigma点：
假设得到 sig1 sig2 sig3 sig4 sig5 sig6 sig7 sig8 sig9
，
定义权值，
可求得下一个点的先验值（经过UT变换后得到的先验值)
(随便填的值，我就不算了哈哈哈)
以上是无迹变换算先验值的整个过程。
无迹卡尔曼滤波算法：
非线性系统：
步骤：
————1、经过UT变换求得sigma采样点及其权值
————2、计算2n+1个sigma点集的一步预测
————3、系统状态量的一步预测（相当于KF/EKF的先验值）
——UT变换后得到的新的状态值
————4、再次使用UT变换，产生新的sigma点集
————5、新的sigma点集带入观测方程，得到预测的观测量
————6、通过加权求得观测量新的均值及协方差
——UT变换后得到的新的观测值
————7、 计算卡尔曼增益
————8、系统的状态更新和协方差更新
图1. 卡尔曼滤波流程图
实际应用（仿真分析）：
系统方程：
,,,。
真实状态信息为：
UKF滤波算法得到的目标状态为：
定义均方根误差（RMSE）：
代码：
T=1;
N=60/T;
X=zeros(4,N); ——定义X为4行60列的数列
X(:,1)=[-100,2,200,20]; ——第一个点
Z=zeros(1,N); ——定义Z为1行60列的数列
delta_w=1e-3;
Q=delta_w*diag([0.5,1]); ——状态噪声
G=[T^2/2,0;T,0;0,T^2/2;0,T];
R=5;——观测噪声
F=[1,T,0,0;0,1,0,0;0,0,1,T;0,0,0,1];
x0=200;
y0=300; ——可以随便给定（Z方程里的值）
Xstation=[x0,y0];
v=sqrtm(R)*randn(1,N);
for t=2:N
X(:,t)=F*X(:,t-1)+G*sqrtm(Q)*randn(2,1);
end
for t=1:N
Z(t)=Dist(X(:,t),Xstation)+v(t);
end ——真实状态值和观测值
L=4;
alpha=1;
kalpha=0;
belta=2;
ramda=3-L;
for j=1:2*L+1
Wm(j)=1/(2*(L+ramda));
Wc(j)=1/(2*(L+ramda));
end
Wm(1)=ramda/(L+ramda); ——求第一次方差的权值
Wc(1)=ramda/(L+ramda)+1-alpha^2+belta; ——求第一次均值的权值
Wm
Wc
Xukf=zeros(4,N);
Xukf(:,1)=X(:,1);
P0=eye(4);
for t=2:N ——（注：下面给出的数据是第一次循环）
xestimate=Xukf(:,t-1);
P=P0; ——初始协方差随便给定 (4行4列矩阵)
cho=(chol(P*(L+ramda)))’; ——半正定矩阵
for k=1:L
xgamaP1(:,k)=xestimate+cho(:,k);
xgamaP2(:,k)=xestimate-cho(:,k); —— xgamaP1的1列与xgamaP2的1列关于xestimate对称
xgamaP1的2列与xgamaP2的2列对称
xgamaP1的3列与xgamaP2的3列对称
xgamaP1的4列与xgamaP2的4列对称
end
Xsigma=[xestimate,xgamaP1,xgamaP2]; ——求出第一步的9个sigma点
Xsigmapre=F*Xsigma;——9个sigma点带入非线性函数得到新的9个sigma点
Xpred=zeros(4,1);
for k=1:2*L+1
Xpred=Xpred+Wm(k)*Xsigmapre(:,k); ——新的状态值（先验值）4行1列
end 
Ppred=zeros(4,4);
for k=1:2*L+1
Ppred=Ppred+Wc(k)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)’;
end
Ppred=Ppred+G*Q*G’; ——新的协方差
chor=(chol((L+ramda)*Ppred))’;
for k=1:L
XaugsigmaP1(:,k)=Xpred+chor(:,k);
XaugsigmaP2(:,k)=Xpred-chor(:,k);
end
Xaugsigma=[Xpred XaugsigmaP1 XaugsigmaP2];——先验值经UT变化得到新的9个sigma点 （用来算Z值）
for k=1:2*L+1;
Zsigmapre(1,k)=hfun(Xaugsigma(:,k),Xstation);——9个sigma点带入非线性函数得到新的9个 end sigma点，公式
Zpred=0;
for k=1:2*L+1
Zpred=Zpred+Wm(k)*Zsigmapre(1,k); ——新的Z值
end
Pzz=0;
for k=1:2*L+1
Pzz=Pzz+Wc(k)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)’;——用来求卡尔曼增益
end
Pzz=Pzz+R;
Pxz=zeros(4,1);
for k=1:2*L+1
Pxz=Pxz+Wc(k)*(Xaugsigma(:,k)-Xpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)’;——用来求卡尔曼增益
end
K=Pxz*inv(Pzz);
xestimate=Xpred+K*(Z(t)-Zpred); ——最终求得的值
P=Ppred-K*Pzz*K’; ——更新协方差值
P0=P;
Xukf(:,t)=xestimate;——迭代
end
for i=1:N
Err_KalmanFilter(i)=Dist(X(:,i),Xukf(:,i));
end
figure
hold on;box on;
plot(X(1,:),X(3,:),’-k.’);
plot(Xukf(1,:),Xukf(3,:),’-r+’);
legend(‘真实轨迹’,’UKF轨迹’)
figure
hold on;box on;
plot(Err_KalmanFilter,’-ks’,’MarkerFace’,’r’)
调用函数1：
function d=Dist(X1,X2)
if length(X2)<=2
d=sqrt((X1(1)-X2(1))^2+(X1(3)-X2(2))^2);
else
d=sqrt((X1(1)-X2(1))^2+(X1(3)-X2(3))^2);
end
调用函数2：
function[y]=hfun(x,xx)
y=sqrt((x(1)-xx(1))^2+(x(3)-xx(2))^2);
参考视频：
【卡尔曼滤波器】1_递归算法_Recursive Processing_哔哩哔哩_bilibili
参考书本：
卡尔曼滤波原理及应用——MATLAB仿真