简介

无旋树堆(一般统称 \(\text{FHQ-Treap}\))，是一种平衡树。可以用很少的代码达到很优秀的复杂度。

前置知识：

  • 二叉搜索树 \(\text{BST}\)
  • \(\text{Treap}\) 基本知识

普通平衡树例题引入

P6136 【模板】普通平衡树（数据加强版）

您需要写一种数据结构，来维护一些整数，其中需要提供以下操作：

  1. 插入一个整数 \(x\)。
  2. 删除一个整数 \(x\)（若有多个相同的数，只删除一个）。
  3. 查询整数 \(x\) 的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 \(+1\)）。
  4. 查询排名为 \(x\) 的数（如果不存在，则认为是排名小于 \(x\) 的最大数。保证 \(x\) 不会超过当前数据结构中数的总数）。
  5. 求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
  6. 求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。

本题强制在线，保证所有操作合法（操作 \(2\) 保证存在至少一个 \(x\)，操作 \(4,5,6\) 保证存在答案）。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)，\(0\leq a_i,x\lt 2^{30}\)。

准备姿势

const int SIZE = 2e6+5; // 数组大小int son[SIZE][2]; // 平衡树数组int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE]; // val是权值,rk是随机权值,siz是子树大小int root,points; // root是树根，points是点数(最后一个节点的编号)mt19937 randomer(time(0)); // 随机生成器#define ls(i) (son[(i)][0]) // 左子树#define rs(i) (son[(i)][1]) // 右子树void pushup(int i){ // 上推信息，这里是子树大小siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;}int newnode(int v){ // 新建节点val[++points]=v; // 权值赋值rk[points]=randomer(); // 随机生成随机权值siz[points]=1; // 散点子树大小为1return points; // 返回节点编号}

FHQ-Treap 基本操作——分裂(split)

这里的 \(\text{split}\) 是按大小分裂，按权值分裂将会在【文艺平衡树】中讲。

\(\operatorname{split}(p,v,l,r)\) 定义为，将根为 \(p\) 的树，分裂成两个子树 \(l,r\) 使得 \(l\) 的所有点权小于等于 \(v\)，\(r\) 中的所有点权大于 \(v\)。

实现也是非常的暴力，由于BST中，左子树小于根，右子树大于根，于是直接判断，如果 \(p\) 的全职 \(\le v\)，我们就往右子树递归看看有没有机会（左子树一定满足），否则就往左子树递归。

代码：

void split(int p,int v,int &left,int &right){if(!p){ // 节点不存在的情况left=right=0;return;}if(val[p]<=v){left=p;split(rs(p),v,rs(left),right);}else{right=p;split(ls(p),v,left,ls(right));}pushup(p);}

由于最多一条链从根搜到叶子，所以时间复杂度是 \(O(\log n)\) 的。

FHQ-Treap 基本操作——合并(merge)

\(\operatorname{merge}(l,r)\) 指，将 \(l,r\) 两棵树合并，然后返回新的树的树根。

如果打过线段树合并，那么打这一部分的内容会感觉很亲切。

在 \(\text{Treap}\) 中，合并方向取决于随机权值，\(\text{FHQ-Treap}\) 也不例外。

如果 \(l\) 的权值大于 \(r\) 的，那么保留 \(l\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(r,\operatorname{rightSon}(l))\)。

如果 \(r\) 的权值大于 \(l\) 的，那么保留 \(r\) 的左子树，右子树改为 \(\operatorname{merge}(l,\operatorname{rightSon}(r))\)。

代码：

int merge(int left,int right){if(!left||!right){ // 节点不存在的情况if(left)return left;else if(right)return right;else return 0;}if(rk[left]<rk[right]){ls(right)=merge(left,ls(right));pushup(right);return right;}else{rs(left)=merge(rs(left),right);pushup(left);return left;}}

时间复杂度 \(O(\log n)\)。

FHQ-Treap 其他操作——insert

\(\operatorname{insert}(v)\)，在平衡树中插入一个数 \(v\)。

我们可以将平衡树分裂成两个部分 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)。然后合并回去。

代码：

void insert(int v){int left=0,right=0;split(root,v-1,left,right);root=merge(merge(left,newnode(v)),right);}

FHQ-Treap 其他操作——remove

\(\operatorname{remove}(v)\)，在平衡树中删除元素 \(v\)，如果有多个，删除其中的任意一个。

将平衡树分裂成 \(x,y,z\)，使得 \(x\lt v,y=v,z\gt v\)，将 \(y\) 的根删掉，然后合并 \(x,y,z\)。

代码：

void remove(int v){int left=0,mid=0,right=0;split(root,v,left,right);split(left,v-1,left,mid);mid=merge(ls(mid),rs(mid));root=merge(merge(left,mid),right);}

FHQ-Treap 的其他操作——rank

\(\operatorname{rank}(v)\)，查询 \(v\) 在平衡树中的排名。

先将平衡树分裂成 \(x,y\)，使得 \(x\lt v,y \ge v\)，然后查询 \(x\) 的子树大小，加 \(1\) 就是答案，最后记得合并回去。

代码：

int rnk(int v){int left=0,right=0,ret;split(root,v-1,left,right);ret=siz[left]+1;root=merge(left,right);return ret;}

FHQ-Treap 的其他操作——kth,pre,nxt

由于本人弱，不想讲解。

代码：

int kth(int k){int now=root;while(1){if(k<=siz[ls(now)]){now=ls(now);}else if(k==siz[ls(now)]+1){return val[now];}else{k-=siz[ls(now)]+1;now=rs(now);}}}int pre(int v){int now=root,ret=0;while(1){if(!now){return ret;}else if(v=val[now]){now=rs(now);}else{ret=val[now];now=ls(now);}}}

例题代码

#include #define int long longusing namespace std;namespace FHQTreap{const int SIZE = 2e6+5;int son[SIZE][2];int val[SIZE],rk[SIZE],siz[SIZE],root,points;mt19937 randomer(time(0));#define ls(i) (son[(i)][0])#define rs(i) (son[(i)][1])void pushup(int i){siz[i]=siz[ls(i)]+siz[rs(i)]+1;}int newnode(int v){val[++points]=v;rk[points]=randomer();siz[points]=1;return points;}void split(int p,int v,int &left,int &right){if(!p){left=right=0;return;}if(val[p]<=v){left=p;split(rs(p),v,rs(left),right);}else{right=p;split(ls(p),v,left,ls(right));}pushup(p);}int merge(int left,int right){if(!left||!right){if(left)return left;else if(right)return right;else return 0;}if(rk[left]<rk[right]){ls(right)=merge(left,ls(right));pushup(right);return right;}else{rs(left)=merge(rs(left),right);pushup(left);return left;}}void insert(int v){int left=0,right=0;split(root,v-1,left,right);root=merge(merge(left,newnode(v)),right);}void remove(int v){int left=0,mid=0,right=0;split(root,v,left,right);split(left,v-1,left,mid);mid=merge(ls(mid),rs(mid));root=merge(merge(left,mid),right);}int kth(int k){int now=root;while(1){if(k<=siz[ls(now)]){now=ls(now);}else if(k==siz[ls(now)]+1){return val[now];}else{k-=siz[ls(now)]+1;now=rs(now);}}}int pre(int v){int now=root,ret=0;while(1){if(!now){return ret;}else if(v=val[now]){now=rs(now);}else{ret=val[now];now=ls(now);}}}int rnk(int v){int left=0,right=0,ret;split(root,v-1,left,right);ret=siz[left]+1;root=merge(left,right);return ret;}}namespace solution{int n,m,lastans,ret;int solution(){lastans=0;ret=0;cin>>n>>m;for(int i=1,v;i>v;FHQTreap::insert(v);}while(m--){int op,v;cin>>op>>v;if(op==1){v^=lastans;FHQTreap::insert(v);}else if(op==2){v^=lastans;FHQTreap::remove(v);}else if(op==3){v^=lastans;lastans=FHQTreap::rnk(v);ret^=lastans;}else if(op==4){v^=lastans;lastans=FHQTreap::kth(v);ret^=lastans;}else if(op==5){v^=lastans;lastans=FHQTreap::pre(v);ret^=lastans;}else{v^=lastans;lastans=FHQTreap::next(v);ret^=lastans;}}cout<<ret;return 0;}}signed main(){    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);return solution::solution();}

AC Record

普通平衡树例题P2343 宝石管理系统

P2343 宝石管理系统
GY 君购买了一批宝石放进了仓库。有一天 GY 君心血来潮，想要清点他的宝石，于是把 \(m\) 个宝石都取出来放进了宝石管理系统。每个宝石 \(i\) 都有一个珍贵值 \(v_i\)，他希望你能编写程序查找到从大到小第 \(n\) 珍贵的宝石。但是现在问题来了，他非常不小心的留了一些宝石在仓库里面，有可能要往现有的系统中添加宝石。这些宝石的个数比较少。他表示非常抱歉，但是还是希望你的系统能起作用。

\(m\leq 100000\),\(q\leq 30000\)

这道题比较水，直接 \(\text{FHQ-Treap}\) 模拟。

时间复杂度 \(O(q\log m)\)

P2073 送花

见这里

P1503 鬼子进村

见这里

P3871 [TJOI2010]中位数

见这里

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