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TOPSIS分析法

算法流程

1. 假设有m个评价对象，n个评价指标，首先需要进行指标的正向化：
   1. 极大型
   2. 极小型
   3. 单点型
   4. 区间型
2. 然后对正向化后的矩阵进行标准化，得到$Z$ 矩阵：假设$X$ 为正向化后的矩阵，则 $Z$ 是标准化后的矩阵：

X= [ x11x11…x 1 nx21x22…x 2 n⋮⋮⋱ ⋮x m 1x m 2…x m n];X=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{11}&…&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&…&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{m1}&x_{m2}&…&x_{mn}\end{bmatrix}; X= ​x11​x21​⋮xm1​​x11​x22​⋮xm2​​……⋱…​x1n​x2n​⋮xmn​​ ​;

Z ij = x i j ∑ i = 1nx i j2Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}} Zij​=∑i=1n​xij2​ ​xij​​

1. 得到标准化后的矩阵后，我们要进行打分：计算出第$i$个评价对象与最大值的距离 Di+ D^{+}_iDi+​ ，和最小值的距离 Di− D^{-}_iDi−​
   1. 计算带组合权重的 TOPSIS 分析法还需要 D i +D^{+}_i Di+​ D i −D^{-}_i Di−​ 分别再乘以权重$W$
      然后再开方。

Z= [ z11z11…z 1 nz21z22…z 2 n⋮⋮⋱ ⋮z m 1z m 2…z m n];Z=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{11}&…&z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&…&z_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\z_{m1}&z_{m2}&…&z_{mn}\end{bmatrix}; Z= ​z11​z21​⋮zm1​​z11​z22​⋮zm2​​……⋱…​z1n​z2n​⋮zmn​​ ​;

最大值( z 1 +, z 2 +… z n +)= (max⁡ {z 11, z 21,…, z m1 },max⁡ {z 12, z 22,…, z m2 },…,max⁡ {z 1n , z 2n ,…, z mn })∣最大值(z^{+}_1,z^{+}_2 …z^{+}_n) = \left.\left(\max\begin{Bmatrix}z_{11},z_{21},…,z_{m1}\end{Bmatrix},\max\begin{Bmatrix}z_{12},z_{22},…,z_{m2}\end{Bmatrix},…,\max\begin{Bmatrix}z_{1n},z_{2n},…,z_{mn}\end{Bmatrix}\right)\right| 最大值(z1+​,z2+​…zn+​)=(max{z11​,z21​,…,zm1​​},max{z12​,z22​,…,zm2​​},…,max{z1n​,z2n​,…,zmn​​}) ​

最小值( z 1 −, z 2 −… z n −)= (min⁡ {z 11, z 21,…, z m1 },min⁡ {z 12, z 22,…, z m2 },…,min⁡ {z 1n , z 2n ,…, z mn })∣最小值(z^{-}_1,z^{-}_2 …z^{-}_n) = \left.\left(\min\begin{Bmatrix}z_{11},z_{21},…,z_{m1}\end{Bmatrix},\min\begin{Bmatrix}z_{12},z_{22},…,z_{m2}\end{Bmatrix},…,\min\begin{Bmatrix}z_{1n},z_{2n},…,z_{mn}\end{Bmatrix}\right)\right| 最小值(z1−​,z2−​…zn−​)=(min{z11​,z21​,…,zm1​​},min{z12​,z22​,…,zm2​​},…,min{z1n​,z2n​,…,zmn​​}) ​

D i +=∑ j=1m( z j +− z ij) 2 D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{j}^{+}-z_{ij})^{2}} Di+​=j=1∑m​(zj+​−zij​)2 ​

D i −=∑ j=1m( z j −− z ij) 2 {\cal D}_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(z_{j}^{-}-z_{ij})^{2}} Di−​=j=1∑m​(zj−​−zij​)2 ​

1. 计算出第$i$ 个评价对象未归一化后的得分： S iS_i Si​ ，很明显 0<= S i<=10<= S_i <=1 0<=Si​<=1，且 S iS_i Si​ 越大 D i +D^{+}_i Di+​ 越小，越接近最大值。

S i= Di− D i ++ D i − S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-} Si​=Di+​+Di−​Di−​​

1. 计算归一化后的得分：即每分数除以所有分数之和：

stand_S= Si ∑ i=1n S i stand\_S=\frac{S_i}{\sum_{i=1}^nS_i} stand_S=∑i=1n​Si​Si​​

程序代码

function [score]=mfunc_TOPSIS(data,W)% TOPSIS方法：求解每个对象的综合评价得分% paramts: %data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标%W: 每个指标的初始权重% returns:%Score：每个评价对象的综合得分%X输入的数据，W各指标的权重[n,~]=size(data);%Z=zscore(X);Z = data ./ repmat(sum(data.*data) .^ 0.5, n, 1); %矩阵标准化V_D = sum(((Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; V_X = sum(((Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ) .* repmat(W,n,1) ,2) .^ 0.5; S = V_X ./ (V_D+V_X); %未归一化得分Score_S = S / sum(S); %归一化得分,即为每个企业的投资风险评分，值越大，投资风险也越大% score=Score_S;score=100*Score_S/max(Score_S);end