本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你两个正整数n和m。

现定义两个整数num1和num2，如下所示：

  • num1：范围[1, n]内所有无法被m整除的整数之和。
  • num2：范围[1, n]内所有能够被m整除的整数之和。

返回整数num1 - num2。

示例 1：

输入：n = 10, m = 3输出：19解释：在这个示例中：- 范围 [1, 10] 内无法被 3 整除的整数为 [1,2,4,5,7,8,10] ，num1 = 这些整数之和 = 37 。- 范围 [1, 10] 内能够被 3 整除的整数为 [3,6,9] ，num2 = 这些整数之和 = 18 。返回 37 - 18 = 19 作为答案。

示例 2：

输入：n = 5, m = 6输出：15解释：在这个示例中：- 范围 [1, 5] 内无法被 6 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num1 = 这些整数之和 =15 。- 范围 [1, 5] 内能够被 6 整除的整数为 [] ，num2 = 这些整数之和 = 0 。返回 15 - 0 = 15 作为答案。

示例 3：

输入：n = 5, m = 1输出：-15解释：在这个示例中：- 范围 [1, 5] 内无法被 1 整除的整数为 [] ，num1 = 这些整数之和 = 0 。 - 范围 [1, 5] 内能够被 1 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num2 = 这些整数之和 = 15 。返回 0 - 15 = -15 作为答案。

提示：

  • 1 <= n, m <= 1000

解法 容斥原理

设 k = ⌊ nm ⌋ k = \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloork=⌊mn​⌋ 。 num2 \textit{num}_2num2​ 是 [ 1 , n ][1,n][1,n] 内的 mmm 的倍数之和，即
m+2m+⋯+km= (1+2+⋯+k)⋅m=k(k+1)2⋅m\begin{aligned} &m + 2m + \cdots + km\\ =\ & (1+2+\cdots+k)\cdot m\\ =\ & \dfrac{k(k+1)}{2}\cdot m \end{aligned} ==​m+2m+⋯+km(1+2+⋯+k)⋅m2k(k+1)​⋅m​
num1 \textit{num}_1num1​ 相当于 (1+2+⋯+n)− num 2(1+2+\cdots+n) – \textit{num}_2 (1+2+⋯+n)−num2​
​所以
num 1− num 2= (1+2+⋯+n)− num 2⋅2=n(n+1)2−k(k+1)m\begin{aligned} &\textit{num}_1 – \textit{num}_2\\ =\ & (1+2+\cdots+n) – \textit{num}_2 \cdot 2\\ =\ & \dfrac{n(n+1)}{2} – k(k+1)m \end{aligned} ==​num1​−num2​(1+2+⋯+n)−num2​⋅22n(n+1)​−k(k+1)m​

class Solution {public:int differenceOfSums(int n, int m) {return n * (n + 1) / 2 - n / m * (n / m + 1) * m;}};

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(1)\mathcal{O}(1) O(1) 。
  • 空间复杂度：O(1)\mathcal{O}(1) O(1) 。