傅里叶变换是一种数学变换，它可以将一个函数或信号转换为另一个函数或信号，它可以将时域信号转换为频域信号，也可以将频域信号转换为时域信号。
在很多的领域都有广泛的应用，例如信号处理、通信、图像处理、计算机科学、物理学、生物学等。
它最大的功能是能够分析和提取信号的特征，将复杂的信号分解为简单的信号。
有人甚至说傅里叶变换是一种可以让我们看透世界本质的变换，将纷繁世界的表象中的本质显现出来。
1. 简介
从数学的角度来推导傅里叶变换的话，会涉及到很多的基本的数学概念，比如正交基，级数，正弦余弦函数等等。
这里主要是为了看懂和使用傅里叶变换，了解傅里叶变换中的主要概念即可，Scipy库会帮助我们处理其中的细节。
举例来说，对于现实中遇到的如下一个原始信号（一般都是非周期性且无规律的）：
这样的信号，可以是声音，可以是气温变化，可以是心电图，甚至可以是股票涨跌情况等等。
原始的信号变化复杂，而且大部分情况都看不出什么规律。
这时，傅里叶变换就能发挥作用了，它能够将复杂无序的信号转换为一系列简单规则的信号。
比如上面的信号转换之后变成下面6个简单的信号：
另外，傅里叶变换是可逆的，它也能够将变换后的多个简单的信号还原成原始的复杂信号。
2. fft 模块
Scipy中处理傅里叶变换有2个子模块：fft和fftpack。fftpack即将被淘汰，所以尽量使用fft模块。
fft模块中，傅里叶变换的主要函数有：
| 函数名 | 说明 |
|---|---|
| fft | 计算一维离散傅里叶变换 |
| ifft | 计算一维离散傅里叶逆变换 |
| fft2 | 计算二维离散傅里叶变换 |
| ifft2 | 计算二维离散傅里叶逆变换 |
| fftn | 计算N维离散傅里叶变换 |
| ifftn | 计算N维离散傅里叶逆变换 |
2.1. 变换示例
创建一个复合的信号：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成 0~8pi 之间100个点x = np.linspace(0, 8*np.pi, 100)# 随便生成6个不同的正弦信号y1 = np.sin(x)y2 = 4*np.sin(2*x)y3 = 2*np.sin(4*x)y4 = 8*np.sin(0.3*x)y5 = 6*np.sin(0.8*x)y6 = 0.5*np.sin(5*x)y = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6plt.plot(x, y)plt.show()
下面通过一维傅里叶变换，看看得到的结果：
from scipy import fft as spfftfft_result = spfft.fft(y)print(fft_result.shape)# 运行结果(100,)fft_result[1:11]# 运行结果（显示前10个，总共100个）array([ 99.548317 -0.j , 273.43743482-274.69892934j, -10.91586207 +66.24943608j, 167.24328363-151.29814008j, -57.93543536 +49.80593353j, -30.50244642 +56.21303872j, -19.99077861 +37.24642604j, -13.54997057 +21.30562857j, 35.119202 -161.91923934j, -17.17382544 +41.98143084j])fft_result[-10:]# 运行结果（显示后10个，总共100个）array([-13.61273919 -29.66475047j, -17.17382544 -41.98143084j, 35.119202 +161.91923934j, -13.54997057 -21.30562857j, -19.99077861 -37.24642604j, -30.50244642 -56.21303872j, -57.93543536 -49.80593353j, 167.24328363+151.29814008j, -10.91586207 -66.24943608j, 273.43743482+274.69892934j])观察快速傅里叶转换之后得到的结果：
- 转换的结果中，每个元素都是复数
- 前10个元素中，除去第一个，剩下的元素和后10个元素相比，实部相同，虚部相反
傅里叶变换之后，可以得到两个描述信号的图形：
- 频谱图：各个频率的波的振幅信息
- 相位图：各个频率的波的相位信息，相位就是波在特定时间所处的位置
频谱信息可以通过 np.abs 方法计算得出：
fig = plt.figure(figsize=[8,4])ax1 = fig.add_subplot(121) data = np.abs(fft_result)ax1.plot(data)ax1.set_title("双边频谱图")ax2 = fig.add_subplot(122) data = np.abs(fft_result[:50])ax2.plot(data)ax2.set_title("单边频谱图")plt.show()
相位信息可以通过 np.angle 方法计算得出：
fig = plt.figure(figsize=[8,4])ax1 = fig.add_subplot(121) data = np.angle(fft_result)ax1.plot(data)ax1.set_title("双边相位图")ax2 = fig.add_subplot(122) data = np.angle(fft_result[:50])ax2.plot(data)ax2.set_title("单边相位图")plt.show()
从这两个图中就能得变换后各个频率的信号的频率，振幅，相位信息。
2.2. 逆变换示例
逆变换就是将变换后的信号还原为原始信号。
因为傅里叶变换并没有任何信息的损失，所以逆变换之后可以看出信号的波形没有任何改变。
data = spfft.ifft(fft_result)# 逆变换之后，忽略虚部的数字plt.plot(x, np.real(data))plt.show()
3. 应用
最后，利用傅里叶变换，我们试着做一个改变声音效果的小例子。
首先，读取一段音频，Scipy就可以直接读取wav文件。
import scipy.io.wavfile as wav# 读取音频，返回采样率和采样的数值rate, all_samples = wav.read("/path/to/fft-test.wav")print(rate)print(all_samples[1000:1010])# 运行结果16000[122 133 149 151 165 151 160 159 155 151]plt.plot(all_samples)plt.show()
音频文件是网上随便找的一段英语对话。
接着，对读取的信号做傅里叶变换，观察变换后的结果：
dd = spfft.rfft(all_samples)plt.plot(np.abs(dd))plt.show()
注意，这里用了 rfft函数，不是之前的fft函数，
两者的区别在于fft的结果是复数，会形成对称的双边图，就像上一节介绍的那样。
而rfft的结果是实数，且是单边的，如上图所示。
这两个函数根据实际情况选择使用，都可以对信号进行傅里叶变换。
因为我后面的处理不需要双边的信息，所以这里用 rfft 函数来做傅里叶变换。
3.1. 处理一
第一种处理，我尝试把频率20000HZ以上的信号都去掉，看看音频的效果有什么变化。
new_data = dd.copy()# 20000HZ以上频率的数据设为0new_data[20000:] = 0fig = plt.figure(figsize=[8,4])ax1 = fig.add_subplot(121) ax1.plot(np.abs(new_data))ax2 = fig.add_subplot(122) ax2.plot(np.abs(dd))plt.show()
处理之后的信号逆变换为原始信号，再保存为wav音频文件，看音频的变化效果。
new_data = spfft.irfft(new_data)new_data = np.rint(new_data)new_data = new_data.astype("int16")wav.write("/path/to/fft-test-1.wav", rate, new_data) 转换后的音频和原音频比，听起来声音更加闷一些，模糊一些。
3.2. 处理二
这次与处理一相反，把20000HZ以下的信号去掉。
new_data = dd.copy()# new_data[20000:] = 0new_data[:20000] = 0fig = plt.figure(figsize=[8,4])ax1 = fig.add_subplot(121) ax1.plot(np.abs(new_data))ax2 = fig.add_subplot(122) ax2.plot(np.abs(dd))plt.show()
然后同样的把信号逆变换回去，并保存为wav文件。
new_data = spfft.irfft(new_data)new_data = np.rint(new_data)new_data = new_data.astype("int16")wav.write("/path/to/fft-test-2.wav", rate, new_data) 这次的声音听起来很遥远，像是长途电话的感觉。
4. 总结
本篇主要介绍了傅里叶变换是什么，以及如何使用Scipy库来进行傅里叶变换。
目的是了解和使用傅里叶变换，而不是从数学角度去推导傅里叶变换。
最后的小例子虽然简单，但见微知著，仅仅删除了一些频率的信号，声音效果就随之变化。
如果把不同声音的文件中，影响音调，音色的频率分析出来，就可以制作一个变声器，
把自己的声音变成男声女声，儿童老人等等。
进一步，用二维傅里叶变换的话，可以分析图像，把图像中的主要频率找出来，
深入下去既可以做图像修复，也可以做图像识别等等。
Scipy库中还有多维傅里叶变换，可以分析现实情况下更加复杂的信号。
5. 附录
文中用到的完整代码（ipynb格式）和一个音频文件，可以从下面的地址下载：
scipy-fft-sample.zip:
https://url11.ctfile.com/f/45455611-910542660-6d7e0f?p=6872
(访问密码: 6872)