文章目录

  • 1 矩阵加减和数乘
  • 2 矩阵与矩阵的乘法
    • 2.1 相乘条件：看中间，取两头
    • 2.2 相乘计算方法
  • 3 矩阵的幂
    • 3.1 观察归纳法
    • 3.2 邻项相消法
    • 3.3 化为对角
  • 4 判断是否可逆（证明题或者要求求出逆矩阵）
    • 4.1 直接观察
    • 4.2 由定义式推得
      • 4.2.1 待定系数—解方程
      • 4.2.2 等价替换
      • 4.2.3 因式分解
    • 4.3 由性质推得
    • 4.4 由矩阵行列式
    • 4.5 阵的秩方阵满秩可逆，不满秩是不可逆的
  • 5. 逆的性质以及求逆的方法
    • 5.1 各自可逆，则乘积可逆。
    • 5.2 初等变换法
    • 5.3 伴随矩阵法
    • 5.4 定义式法
  • 6 逆的应用
    • 6.1 方程组
  • 7 矩阵转置
    • 7.1 与行列式相联系（方阵）
    • 7.2 正交矩阵
    • 7.3 对称矩阵判别

《线性代数》中会有较多陌生的概念，如矩阵的逆，线性相关线性无关等，具有一定的难度。因而本系列尽量会以不同于课本的视角去学习线性代数，有些可以做类比记忆的我们会去做一些类比记忆，比如矩阵的逆类比于我们数的除法，有一些比如线性相关和无关会尽量以几何的方式直观地让大家去了解相关的内容。

​ 《线性代数》系列重点总结线性代数相关的一些学科思想，重点方法，鉴于时间等各方面原因，对于基础的概念并不会重点阐释与总结，有基础概念不了解的比如同型矩阵去翻阅课本，课本上一定有详细的定义。所以本系列适合于初步预习之后的阅读或者在正式学习之时难点知识的参考或者在总复习之时整理相关题型方法，建立学科体系的阅读。

​ 例题很重要，建议自己先尝试做一遍，再去看答案。同时，自己在做题过程中，遇到不会的要看看是否是下面的一些方法未掌握，或者是这些方法的综合应用，把自己不会的题总结到笔记本中，做一定的标记。

​ 加油，希望你有所收获！！！

​ 矩阵的运算其实类比于我们数的运算，无非也就是加减乘除。只不过在矩阵的运算中，会有更多的条件限制，比如矩阵的加减必须为同型矩阵，交换律在矩阵乘法中不满足等等。但也有很多相似的地方，比如矩阵的逆也就是我们数的除法，当矩阵行列式为零时矩阵不可逆，我们也可以联想到数如果为零的话是不能除的。

1 矩阵加减和数乘

矩阵的加减和数乘细心即可，只需要注意以下两点

（1）矩阵的加减必须为同型矩阵，行和列数要相同

（2）矩阵的数乘要区分于行列式的数乘，kA是给矩阵中的每一个元素都乘以k，而k|A|是给行列式的某一行（列）乘k

2 矩阵与矩阵的乘法

2.1 相乘条件：看中间，取两头

两个矩阵的行列数顺次排列构成四个数 a1、a2、a3、a4，只有a2=a3才能相乘，乘出来的矩阵行列分别为a1和a4 。因而我们称为看中间，取两头。好比两个朋友见面先要对个暗号，只有暗号相符（中间两个数相等）才可以计算

例1.1：

​ A 3 ∗ 5∗ B 4 ∗ 5 A_{3*5}*B_{4*5}A3∗5​∗B4∗5​

a1=3 a2=5 a3=4 a4=5 因而不能相乘

例1.2：

​ A 3 ∗ 4∗ B 4 ∗ 5= C 3 ∗ 5 A_{3*4}*B_{4*5}=C_{3*5}A3∗4​∗B4∗5​=C3∗5​

可以相乘，得到的矩阵行列分别为3和5

2.2 相乘计算方法

​ 第一个矩阵的每一行分别去乘第二个矩阵的每一列并相加，并无难点，熟悉计算即可。

3 矩阵的幂

3.1 观察归纳法

​ 归纳法使用于二阶三阶，阶数较小的情况，或者虽然阶数较高，但零比较多。我们可以先尝试写出二次方，三次方，观察规律，推测结果。

​ 例1.1：设 A = (1021) A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}A=(12​01​) 求 An A^nAn

​ 解： A2= (1041) A^2=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}A2=(14​01​) A3= (1061) A^3=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}A3=(16​01​) 我们可以推测 An= (10 2 n1) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}An=(12n​01​)

​ 如果是填空题直接写答案即可，如果是大题，还需要进行验证

​ 猜想 An= (10 2 n1) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}An=(12n​01​) n=1 时成立 当n>1 时，设公式对于n-1成立，则 An= A n − 1A = (10 2 ( n − 1 )1)(1021)= (10 2 n1) A^n=A^{n-1}A=\begin{pmatrix}1&0\\2(n-1)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}An=An−1A=(12(n−1)​01​)(12​01​)=(12n​01​)

​ 猜想正确

3.2 邻项相消法

​ 临项相消法使用于AB矩阵乘积形式，如果BA简单易求，结果为对角矩阵或者是一个常数或者由题目已知，则可以先算BA 即 ( A B )n= A B A B . . . A B = A ( B A ) ( B A ) . . . B(AB)^n=ABAB…AB=A(BA)(BA)…B(AB)n=ABAB…AB=A(BA)(BA)…B

​ 例1.2 : 设 A = (111) A=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}A= ​111​ ​ B = (123) B=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}B=(1​2​3​) 求 ( A B )10 (AB)^{10}(AB)10

A B = (123123123) AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}AB= ​111​222​333​ ​ BA=6 我们发现BA比AB更容易求,则我们优先计算BA

则我们 ( A B )10= A B A B . . . A B = A ( B A ) （ B A ） . . B = 69A B = 69(123123123) (AB)^{10}=ABAB…AB=A(BA)（BA）..B=6^9AB=6^9\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}(AB)10=ABAB…AB=A(BA)（BA）..B=69AB=69 ​111​222​333​ ​$

3.3 化为对角

​ 这是我们第5章矩阵对角化的重要应用，放在这里只是为了提醒大家有这一种方法，在综合大题中，这种化为对角的方法应用还是蛮多的。化为对角矩阵为什么可行，因为对角矩阵相乘直接对角线上对应元素相乘即可

​ 例：

​ A可对角化为对角矩阵B ( 5 0 0 0 −10 0 0 −1)\begin{pmatrix}5&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} ​500​0−10​00−1​ ​ 则有 P − 1A P = BP^{-1}AP=BP−1AP=B 则 A = P B P − 1 A=PBP^{-1}A=PBP−1

​ Ak= P B P − 1P B P − 1. . . P B P − 1= P BkP − 1 A^k=PBP^{-1}PBP^{-1}…PBP^{-1}=PB^kP^{-1}Ak=PBP−1PBP−1…PBP−1=PBkP−1 而 Bk= ( 5 k000 ( − 1 )k 000 ( − 1 )K ) B^k=\begin{pmatrix}5^k&0&0\\0&(-1)^k&0\\0&0&(-1)^K\end{pmatrix}Bk= ​5k00​0(−1)k0​00(−1)K​ ​ 进而求得A的k次方

接下来就是矩阵的逆运算了！！

也就是矩阵的除法，涉及到判断是否可逆，逆的性质，逆的应用等等

4 判断是否可逆（证明题或者要求求出逆矩阵）

4.1 直接观察

​ 某一行或某一列为零的不可逆

​ 如果为二阶矩阵可以利用公式直接判断并计算逆矩阵

4.2 由定义式推得

​ 如果A×B=E 则A的逆为B 有时候需要凑定义式，本质上就是转换为乘积的形式，而这其中的技巧性又很强，常见的技巧如下，抓住核心，转换为乘积形式。（K P30 例1.18）

4.2.1 待定系数—解方程

​ 例1.1 设A，C分别为m和n阶矩阵，求证矩阵M= ( O A C B )\begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix}(OC​AB​) 可逆，并求其逆矩阵。

​ 解：

4.2.2 等价替换

​ 有时候可以直接从式子中得到我们要求的量的等价关系

​ 例1.2 设方阵A满足 A 2−4A−E=0A^2-4A-E=0 A2−4A−E=0,证明A以及4A+E是可逆的，并求各自的逆矩阵

​ 解： A 2−4A=EA^2-4A=E A2−4A=E 即 A（A−4E）=EA（A-4E）=E A（A−4E）=E 所以 A −1 =A−4EA^{-1}=A-4E A−1=A−4E 由原式可知 4A+E= A 24A+E=A^2 4A+E=A2

​ 则有（4A+E ） −1 =( A 2 ) −1 （4A+E）^{-1}=(A^{2})^{-1} （4A+E）−1=(A2)−1==( A −1) 2=(A^{-1})^{2} =(A−1)2=(A−4E ) 2(A-4E)^2 (A−4E)2 此题中我们可以得到要求的4A+E的逆相当于求A平方的逆，进而转换为我们要求的量

4.2.3 因式分解

​ 如果我们有 A2− 3 A − 4 E = EA^2-3A-4E=EA2−3A−4E=E 求A+E的逆，我们可以很轻松的想到 ( A − 4 E ) ( A + E ) = E(A-4E)(A+E)=E(A−4E)(A+E)=E,自然我们也可以求得（A+E）的逆

​ 那如果我们把E进行一个变化如都移在右边，或者在加减E，这时候求法依然一样。

​ 例1.3 设A为n阶矩阵，设 A 2=AA^2=A A2=A,证明(A+E ) −1 (A+E)^{-1} (A+E)−1可逆并求逆矩阵

​ 解： A 2−A−2E=−2EA^2-A-2E=-2E A2−A−2E=−2E (A−2E)(A+E)=−2E(A-2E)(A+E)=-2E (A−2E)(A+E)=−2E − 1 2(A−2E)(A+E)=E-\frac{1}{2}(A-2E)(A+E)=E −21​(A−2E)(A+E)=E 自然可以求得我们要求的答案为− 1 2(A−2E)-\frac{1}{2}(A-2E) −21​(A−2E)

4.3 由性质推得

如果同阶方阵A1,A2…An 可逆，则我们可以知道A1 * A2 * … *An 可逆

例1.4 设A，B是同阶可逆方阵，且A+B也可逆，证明 A −1 + B −1 A^{-1}+B^{-1} A−1+B−1可逆，并求出逆矩阵

​ 解： A −1 + B −1 = A −1 （B B −1 ）+( A −1 A) B −1 = A −1 (A+B) B −1 A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}（BB^{-1}）+(A^{-1}A)B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1} A−1+B−1=A−1（BB−1）+(A−1A)B−1=A−1(A+B)B−1

​ 因为A+B和 A −1 A^{-1} A−1和 B −1 B^{-1} B−1分别可逆，则原式可逆

4.4 由矩阵行列式

我们在数的除法中，零是不能做除数的，那么类比行列式，行列式为零的时候是不可逆的。

例1.5 设n阶方阵B可逆，方阵A满足 A 2−A=BA^2-A=B A2−A=B，证明A可逆，并求其逆矩阵‘

​ 解：因为B可逆，所以 |B|≠0 |B| =|A||A-E| 所以|A|≠0 所以A可逆

4.5 阵的秩方阵满秩可逆，不满秩是不可逆的

5. 逆的性质以及求逆的方法

5.1 各自可逆，则乘积可逆。

即如果 A1, A2, . . . , As A_1,A_2, … ,A_sA1​,A2​,…,As​ 可逆，那么乘积 A1A2. . . As A_1A_2 … A_sA1​A2​…As​ 可逆，且 （ A1A2. . . As） − 1= As − 1. . . A2 − 1A1 − 1 （A_1A_2 … A_s）^{-1}=A_s^{-1}…A_2^{-1}A_1^{-1}（A1​A2​…As​）−1=As−1​…A2−1​A1−1​

​ 例1.4 用到了这个性质

注意如果 ( A + B ) − 1 (A+B)^{-1}(A+B)−1不等于 A − 1+ B − 1 A^{-1}+B^{-1}A−1+B−1 我记得我最开始学习的时候很容易犯这个错误，其实本质上是和转置混淆了，如果转置的话是成立的， ( A + B )T (A+B)^{T}(A+B)T= AT+ BT A^{T}+B^{T}AT+BT

5.2 初等变换法

​ 初等变换是我们求逆的最常用的方法，我们熟悉的

​ 例1.1 设A，C分别为m和n阶矩阵，求证矩阵M=(OACB)\begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix} (OC​AB​) 可逆，并求其逆矩阵。

5.3 伴随矩阵法

​ AA*=|A|E

​

5.4 定义式法

​ 同上判断可逆时，如果AB=E ，则不仅可以判断A可逆，也可以直接得出A的逆为B

6 逆的应用

6.1 方程组

​ 就是将我们的方程组求解转换为两个矩阵相乘，前提是A的逆好求或已知，否则的话我们还是运用后面的求方程组的方法

​ A x = BAx=BAx=B 则 $ x=A^{-1}B$

7 矩阵转置

7.1 与行列式相联系（方阵）

转置行列式值不变

7.2 正交矩阵

正交矩阵的转置等于矩阵的逆

7.3 对称矩阵判别

对称矩阵的情况下， AT= AA^T=AAT=A

例1.1 证明 ATAA^TAATA和 A AT AA^TAAT为对称矩阵

补充题库

四-1.2.1 K P31 B 5T

四-1.2.1 K P30 例1.18