文章目录
- 一、泰勒公式
- 二、思路分析
- 1.sin函数的泰勒展开式：
- 2.弧度制计算
- 3.设定常量
- 三、完整代码
一、泰勒公式
单片机如果不调用库，只进行加减运算，亦或宽泛点来说能进行加减乘除运算，那不调用库如何进行三角函数的计算呢？这时我们引入泰勒公式。
泰勒公式用一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算数运算，便能求出它的函数值来，因此我们常用多项式来近似表达函数。
二、思路分析
1.sin函数的泰勒展开式：
s i n x = x −x 3 3 !+x 5 5 !− . . . + (−1 ) k−1x 2k−12 k − 1 !+ . . .sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-…+{(-1)^{k-1}}\frac{x^{2k-1}}{2k-1!}+…sinx=x−3!x3+5!x5−…+(−1)k−12k−1!x2k−1+…
令 a 1=x, a 2= x33! , a 3= x55! ,…,a_{1}=x,a_{2}=\frac{x^{3}}{3!},a_{3}=\frac{x^{5}}{5!},…, a1=x,a2=3!x3,a3=5!x5,…,a k−1 = ( − 1 ) k − 2x 2 k − 3（2k−3）! , a k= ( − 1 ) k − 1x 2 k − 1（2k−1）! ,k=1,2,3,…,na_{k-1}={(-1)^{k-2}}\frac{x^{2k-3}}{（2k-3）!},a_{k}={(-1)^{k-1}}\frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!},k=1,2,3,…,n ak−1=(−1)k−2（2k−3）!x2k−3,ak=(−1)k−1（2k−1）!x2k−1,k=1,2,3,…,n
则 sinx= a 1+ a 2+ a 3+…+ a k−1 + a k+…sinx=a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{k-1}+a_{k}+… sinx=a1+a2+a3+…+ak−1+ak+…,且
a 2=(−1)∗ a 1∗ x22∗3 ， a 3=(−1)∗ a 2∗ x24∗5 ，…a_{2}=(-1)*a_{1}*\frac{x^{2}}{2*3}，a_{3}=(-1)*a_{2}*\frac{x^{2}}{4*5}，… a2=(−1)∗a1∗2∗3x2，a3=(−1)∗a2∗4∗5x2，…
即
ak= (−1)∗ a k − 1∗x 2 2 ∗ ( k − 1 ) ∗ ( 2 k − 1 ), k = 1 , 2 , 3 , . . . , na_{k}={(-1)}*a_{k-1}*\frac{x^{2}}{2*(k-1)*(2k-1)},k=1,2,3,…,nak=(−1)∗ak−1∗2∗(k−1)∗(2k−1)x2,k=1,2,3,…,n
也就是说，多项式下一项都可由当前项计算出来，只要知道了第一项的 x,就可以计算出之后的每一项。
代码实现：
设 tItem 为 ak a_{k}ak，tRadian为 x,则有：
tItem = (-1) * tItem * tRadian * tRadian / (2*(k-1) * (2 * k - 1));之后通过循环累计求和把每一项加起来，就是sinx的值。
2.弧度制计算
角度是有单位的，弧度是没有单位的，函数sinx中x属于弧度制，而我们输入的为角度，故需要将角度转换为弧度。
角度转弧度的公式：
1 ° = Π / 180 °1°= Π/180°1°=Π/180°
如 50° = 50 * Π / 180° ≈ 0.87
代码实现：
设 tRadian 为弧度，tAngle为角度，则有：
tRadian = tAngle * PI / 180; //角度转化为弧度进行计算3.设定常量
由于展开式中，项数有无数个，而代码在实际运行中进行无限次计算会没有尽头，这时候我们需要设定一个常量，当项数小于常量时就停止计算。
项数越多，展开式就会越接近原函数，所以这个常量越小，所计算出的结果越精确。
代码实现：
设 tvalue 为常量，则有：
#define tvalue 1e-8//定义一个常量，来控制精度这里1e-8为 1 0 − 8 10^{-8}10−8，可根据需求来改。
三、完整代码
#include#include#define tvalue 1e-8//定义一个常量，来控制精度#define PI 3.1415926 //圆周率void main(){doubletSum = 0, tItem = 0;//tSum：求和（和即sin的值）， tItem：每一项doubletAngle, tRadian;//tAngle:输入的角度,tRadian:弧度int k = 1;//式子的右下标printf("请输入角度：");scanf("%lf", &tAngle);tRadian = tAngle * PI / 180; //角度转化为弧度进行计算tItem = tRadian; //输入的角度等于第一项while (fabs(tItem) > tvalue) //如果项的绝对值大于我们定义的常量，则进入循环{tSum += tItem;//和等于每一项相加k += 1; //式子的右下标tItem= (-1) * tItem* tRadian * tRadian / (2*(k-1) * (2 * k - 1));//原式为：下一项 = (-1) * 这一项 *x* x / (2*(k-1) * (2 * k - 1))}printf("sin(%.lf)= %.2lf", tAngle, tSum);getchar();//让程序暂停，查看结果}