LDPC译码原理（公式推导）及其matlab代码实现（超详细）

目录

• 博文更改记录
• 一、背景概述
• 二、LDPC译码理论
• • 2.1 LDPC码的表示方法
  • • 2.1.1LDPC码的矩阵表示
    • 2.1.2 Tanner图表示
  • 2.2符号说明
  • 2.3LDPC译码算法
  • • 2.3.1引理1及其证明
    • 2.3.2和积译码算法（概率域译码算法）
    • 2.3.3对数域BP译码算法（LLR BP）
    • 2.3.4最小和译码算法（Min-Sum BP）
    • 2.3.5改进的最小和译码算法（NMSA and OMSA）
• 三、LDPC译码算法的matlab实现
• • 3.1BPSK调制体制下关于SNR和 Eb/ N0 E_b/N_0Eb​/N0​与$\delta$之间的关系
  • 3.2AWGN信道下的初始化
  • 3.3基于归一化最小和译码算法（Normalized min-sum algorithm,NMSA）的matlab实现
  • 3.4分层归一化最小和LDPC译码算法
  • • 3.4.1LBP译码算法
    • 3.4.2 分层最小和译码算法的matlab实现
    • 3.4.3 LBP译码算法和NMSA译码算法收敛速度对比
• 四、LDPC译码的调度算法

博文更改记录

一、背景概述

低密度奇偶校验码（Low-Density Parity-Check Codes）凭借其逼近Shannon限的纠错性能，受到了信道编译码学者的广泛关注，已成为DVB-S2、IEEE802.16e、CCSDS、5G等无线通信标准首选的信道编码方案。2001年，S.Chung等人的研究结果表明，码率1/2、码长10^7的非规则LDPC码在AWGN信道下采用置信传播算法进行迭代译码，当错误概率为10 ^-6时，距离Shnnon限仅相差0.0045dB。
LDPC码最迷人的地方在于译码算法，本文主要关注基于置信传播的迭代译码算法，博主在初学时，在阅读论文和相关书籍过程中，发现关于LDPC译码理论方面的讲解，公式推导讲的不是很清楚，需要阅读大量的书籍和文献，才能对其有一个系统性的认识；且关于LDPC译码matlab代码实现没有详尽的注释，理解起来较为困难，入门较难，花费较多时间；本文主要介绍基于置信传播的迭代译码算法及其改进算法，对涉及的公式，进行了详细的推导，并附上自己的理解；除此之外给出了matlab实现代码。因本文内容较多，难免会出现错误，还请各位读者批评指正，希望这篇博文能对大家有所帮助和启发。

二、LDPC译码理论

2.1 LDPC码的表示方法

2.1.1LDPC码的矩阵表示

一个LDPC码$v$ 是一种（$n$，$k$）线性分组码，码长为$n$，信息序列长度为$k$，可由其校验矩阵H所唯一确定，校验矩阵中1的数目远小于0的数目，具有稀疏性。H的维数是$m\times n$，每一行对应一个校验方程（也称校验节点），每一列对应码字的一位（也称变量节点）。每一行中非零元素的个数称为行重，每一列中非零元素的个数称为列重。
下面是一个5 $\times$ 10的校验矩阵及其对应的校验方程：
H= [ 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 ]→ {v 0+ v 5+ v 6+ v 9=0 v 1+ v 2+ v 5+ v 8=0 v 0+ v 4+ v 8+ v 9=0 v 2+ v 3+ v 4+ v 7=0 v 1+ v 3+ v 6+ v 7=0 H=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]\to \left\{ \begin{matrix} {{v}_{0}}+{{v}_{5}}+{{v}_{6}}+{{v}_{9}}=0 \\ {{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{5}}+{{v}_{8}}=0 \\ {{v}_{0}}+{{v}_{4}}+{{v}_{8}}+{{v}_{9}}=0 \\ {{v}_{2}}+{{v}_{3}}+{{v}_{4}}+{{v}_{7}}=0 \\ {{v}_{1}}+{{v}_{3}}+{{v}_{6}}+{{v}_{7}}=0 \\ \end{matrix} \right. H= ​10100​01001​01010​00011​00110​11000​10001​00011​01100​10100​ ​→⎩ ⎨ ⎧​v0​+v5​+v6​+v9​=0v1​+v2​+v5​+v8​=0v0​+v4​+v8​+v9​=0v2​+v3​+v4​+v7​=0v1​+v3​+v6​+v7​=0​

2.1.2 Tanner图表示

除了用校验矩阵表示LDPC码以外，还可以用双向的图模型表示LDPC码，其中Tanner图表示是比较方便的一种，可以形象地刻画LDPC码的编译码特性。当H矩阵中对应位置不为0时，在Tanner中有一条边将对应的校验节点和变量节点相连。校验矩阵的行重与列重与节点的度一致，Tanner与校验矩阵一一对应。
下图所展示为5 $\times$ 10的校验矩阵对应的Tanner图：

2.2符号说明

不同的文献对内信息和外信息的定义不一样，有的文献把从信道接收来的信息称为外信息（$externalmessages$），把节点之间传递的信息称为内信息（$internalmessages$）;有的文献把从信道接收来的信息称为后验概率，把节点之间传递的信息称为外信息；本博文定义遵照后者。

2.3LDPC译码算法

LDPC码的译码方法可以分为两大类：基于硬判决的译码和基于软判决的译码。基于硬判决的译码运算量小比较实用；而软判决译码采用了后验概率信息，并通过迭代运算，使得LDPC码的性能得以逼近香农限。本博文主要关注基于软判决的译码及其改进算法。

2.3.1引理1及其证明

在学习LDPC译码相关的知识时，都会涉及到引理1，该引理关系具体LDPC译码算法，但很少有文献给出关于引理的证明，本博文关于引理的证明，主要参考了博主stand_by_me123的博文。¹
引理1：对于一个长为$m$的相互独立的二进制序列， a = [ a1, a2, . . ., am]a=[a_1,a_2,…\ ,a_m]a=[a1​,a2​,…,am​]，第$h$个比特为1的概率 P ( ah) = ph P(a_h)=p_hP(ah​)=ph​，那么二进制序列$a$中1的个数为偶数的概率为 12+ 12∏ h = 1m(1−2 p h) \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod\limits_{h=1}^{m}{(1-2{{p}_{h}})}21​+21​h=1∏m​(1−2ph​)，1的个数为奇数的概率为 12− 12∏ h = 1m(1−2 p h) \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\prod\limits_{h=1}^{m}{(1-2{{p}_{h}})}21​−21​h=1∏m​(1−2ph​)。
引理1的证明：（构造函数+数学归纳法）
首先构造关于$t$的$m$次多项式 f ( t ) = ∏ h = 1m(1− p h+ p ht) f(t)=\prod\limits_{h=1}^{m}{(1-{{p}_{h}}+{{p}_{h}}t)}f(t)=h=1∏m​(1−ph​+ph​t)，通过数学归纳法证明 ti t^iti的系数为其序列中包含$i$个1的概率。
（1）当$m=1$， f ( t ) = 1 − ph+ phtf(t)=1-p_h+p_htf(t)=1−ph​+ph​t,显然$t$的一次幂及零次幂即为包含1个1和0个1的概率；
（2）假设当$m=k$时， th t^hth的系数 Bh B_hBh​为$k$次多项式 f ( t ) = ∏ h = 1k(1− p h+ p ht)= ∑ h=0k Bhthf(t)=\prod\limits_{h=1}^{k}{(1-{{p}_{h}}+{{p}_{h}}t)=\sum\limits_{h=0}^{k}{{{B}_{h}}{{t}^{h}}}}f(t)=h=1∏k​(1−ph​+ph​t)=h=0∑k​Bh​th中包含$h$个1个概率；
（3）当$m=k+1$时，f(t)= ∏ h=1k+1( 1 − ph+ pht ) = ( 1 − p k + 1+ p k + 1t ) ∏ h = 1k(1− p h+ p ht)= ( 1 − p k + 1+ p k + 1t ) ∑ h = 0k B h t h f(t)=\prod\limits_{h=1}^{k+1}{(1-{{p}_{h}}+{{p}_{h}}t)=(1-{{p}_{k+1}}+{{p}_{k+1}}t)\prod\limits_{h=1}^{k}{(1-{{p}_{h}}+{{p}_{h}}t)}=(1-{{p}_{k+1}}+{{p}_{k+1}}t)\sum\limits_{h=0}^{k}{{{B}_{h}}{{t}^{h}}}} f(t)=h=1∏k+1​(1−ph​+ph​t)=(1−pk+1​+pk+1​t)h=1∏k​(1−ph​+ph​t)=(1−pk+1​+pk+1​t)h=0∑k​Bh​th
由上式可求得 ti t^iti的系数为 ( 1 − p k + 1) Bi+ p k + 1B i − 1 (1-p_{k+1})B_i+p_{k+1}B_{i-1}(1−pk+1​)Bi​+pk+1​Bi−1​，即为$k+1$次多项式中包含$i$个1的概率。
对于函数 g ( t ) = ∏ h = 1m( 1 − ph− pht )g(t)=\prod\limits_{h=1}^m(1-p_h-p_ht)g(t)=h=1∏m​(1−ph​−ph​t)，与$f(t)$的区别在于函数$g(t)$的奇次幂系数为负值。故可通过$f(t)+g(t)$来消去幂次为奇数的项，并令$t=1$。
故可得到二进制序列$a$中，1的个数为偶数的概率为： p e v e n=1 + ∏ h = 1m( 1 − 2 ph)2 p_{even}=\frac{1+\prod\limits_{h=1}^m(1-2p_h)}{2}peven​=21+h=1∏m​(1−2ph​)​，1的个数为奇数的概率为： p o d d= 1 − p e v e n=1 − ∏ h = 1m( 1 − 2 ph)2 p_{odd}=1-p_{even}=\frac{1-\prod\limits_{h=1}^m(1-2p_{h})}{2}podd​=1−peven​=21−h=1∏m​(1−2ph​)​。

2.3.2和积译码算法（概率域译码算法）

（1）计算发送端发送的比特 vi= 1v_i=1vi​=1或0的初始后验概率，设定变量节点传递给校验节点的初始消息为发送端发送比特的初始后验概率：
{ q i j ( 0 )( 1 ) = Pi( 1 ) = p ( vi= 1 ∣ yi) q i j ( 0 )( 0 ) = Pi( 0 ) = p ( vi= 0 ∣ yi)\left\{ \begin{matrix} q_{ij}^{(0)}(1)={{P}_{i}}(1)=p({{v}_{i}}=1|{{y}_{i}}) \\ q_{ij}^{(0)}(0)={{P}_{i}}(0)=p({{v}_{i}}=0|{{y}_{i}}) \\ \end{matrix} \right. {qij(0)​(1)=Pi​(1)=p(vi​=1∣yi​)qij(0)​(0)=Pi​(0)=p(vi​=0∣yi​)​
（2）计算校验节点传递给变量的外信息：
{ r j i ( l )( 0 ) = 12+ 12∏ i ′∈ V ( j ) \ i(1−2 qi′ j(l−1) (1))r j i ( l )( 1 ) = 1 − r j i( 0 ) = 12− 12∏ i ′∈ V ( j ) \ i(1−2 qi′ j(l−1) (1)) \left\{ \begin{matrix} r_{ji}^{(l)}(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod\limits_{{{i}^{‘}}\in V(j)\backslash i}{(1-2q_{{{i}^{‘}}j}^{(l-1)}(1))} \\ r_{ji}^{(l)}(1)=1-{{r}_{ji}}(0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\prod\limits_{{{i}^{‘}}\in V(j)\backslash i}{(1-2q_{{{i}^{‘}}j}^{(l-1)}(1))} \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧​rji(l)​(0)=21​+21​i′∈V(j)\i∏​(1−2qi′j(l−1)​(1))rji(l)​(1)=1−rji​(0)=21​−21​i′∈V(j)\i∏​(1−2qi′j(l−1)​(1))​
理解：首先理解校验节点传递给变量节点外信息的含义：对于校验节点 cj c_jcj​（即代表一个校验方程），与其连接的一个变量节点 vi v_ivi​的值确定，且除 vi v_ivi​外的其他变量节点为0或1的概率已知的条件下，第$j$个校验方程满足的概率。
若变量节点 vi v_ivi​为0，则第$j$个校验方程满足的条件为其他变量节点中有偶数个1。（校验方程的计算法则为模2运算）
若变量节点 vi v_ivi​为1，则第$j$个校验方程满足的条件为其他变量节点中有奇数个1。
一个序列中有偶数个1或奇数1的概率计算公式由引理1给出。
（3）计算变量节点传递给校验节点的外信息：
{ q i j ( l )( 0 ) = K i jq i j ( 0 )( 0 ) ∏ j ′∈ C ( i ) \ jr j ′i ( l )( 0 ) q i j ( l )( 1 ) = K i jq i j ( 0 )( 1 ) ∏ j ′∈ C ( i ) \ jr j ′i ( l )( 1 )\left\{ \begin{matrix} q_{ij}^{(l)}(0)={{K}_{ij}}q_{ij}^{(0)}(0)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)\backslash j}{r_{{{j}^{‘}}i}^{(l)}}(0) \\ q_{ij}^{(l)}(1)={{K}_{ij}}q_{ij}^{(0)}(1)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)\backslash j}{r_{{{j}^{‘}}i}^{(l)}}(1) \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧​qij(l)​(0)=Kij​qij(0)​(0)j′∈C(i)\j∏​rj′i(l)​(0)qij(l)​(1)=Kij​qij(0)​(1)j′∈C(i)\j∏​rj′i(l)​(1)​
理解：对于变量节点传递给校验节点外信息的含义：当变量节点 vi v_ivi​连接的一个校验节点 cj c_jcj​的值确定（即第$j$个校验方程确定为0或1），与 vi v_ivi​相连的其他校验节点所在的校验方程能得到满足的概率已知，此时变量节点 vi= 1v_i=1vi​=1或$0$的概率。
vi= 1v_i=1vi​=1的概率包括：初始为1的概率、为1时使得其他校验方程满足时的概率，这些概率值相乘得到了 vi= 1v_i=1vi​=1的概率； vi= 0v_i=0vi​=0同理。
（4）译码判决，计算经过迭代后变量节点的后验概率：
{q ij( l )( 0 ) = K i j q ij( 0 )( 0 )∏ j ′∈ C ( i )r j ′i( l )( 0 )q ij( l )( 1 ) = K i j q ij( 0 )( 1 )∏ j ′∈ C ( i )r j ′i( l )( 1 )\left\{ \begin{matrix} {{q}_{ij}}^{(l)}(0)={{K}_{ij}}{{q}_{ij}}^{(0)}(0){{\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}}^{(l)}}(0) \\ {{q}_{ij}}^{(l)}(1)={{K}_{ij}}{{q}_{ij}}^{(0)}(1){{\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}}^{(l)}}(1) \\ \end{matrix} \right. ⎩ ⎨ ⎧​qij​(l)(0)=Kij​qij​(0)(0)j′∈C(i)∏​rj′i​(l)(0)qij​(l)(1)=Kij​qij​(0)(1)j′∈C(i)∏​rj′i​(l)(1)​
0的概率大时，将 vi v_ivi​判决为0，否则判决为1。

2.3.3对数域BP译码算法（LLR BP）

概率域上的BP算法包含了大量的连乘运算，硬件实现时具有较高的计算复杂度，资源消耗大。将概率信息用似然比表示，就得到对数域上的BP算法，大量的乘法运算可以转化为加法运算。
（1）信道初始消息：
L( P i)=ln⁡P i(0) P i(1) =ln⁡ p( v i=0∣ y i)p( v i=1∣ y i) L({{P}_{i}})=\ln \frac{{{P}_{i}}(0)}{{{P}_{i}}(1)}=\ln \frac{p({{v}_{i}}=0|{{y}_{i}})}{p({{v}_{i}}=1|{{y}_{i}})} L(Pi​)=lnPi​(1)Pi​(0)​=lnp(vi​=1∣yi​)p(vi​=0∣yi​)​
（2）校验节点传递给变量节点的外信息：
r ji =ln⁡r ji (0) r ji (1) =ln⁡ 1+ ∏i′ ∈V(j)\i( 1 − 2 q i ′j( 1 ) )1− ∏i′ ∈V(j)\i( 1 − 2 q i ′j( 1 ) ) {{r}_{ji}}=\ln \frac{{{r}_{ji}}(0)}{{{r}_{ji}}(1)}=\ln \frac{1+\prod\limits_{{{i}^{‘}}\in V(j)\backslash i}{(1-2{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(1))}}{1-\prod\limits_{{{i}^{‘}}\in V(j)\backslash i}{(1-2{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(1))}} rji​=lnrji​(1)rji​(0)​=ln1−i′∈V(j)\i∏​(1−2qi′j​(1))1+i′∈V(j)\i∏​(1−2qi′j​(1))​
注意到： tanh⁡ − 1= 12ln ⁡1 + x 1 − x {{\tanh }^{-1}}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}tanh−1=21​ln1−x1+x​， 1 − 2 q i ′j( 1 ) = q i ′j( 0 ) − q i ′j( 1 )1-2{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(1)={{q}_{{{i}^{‘}}j}}(0)-{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(1)1−2qi′j​(1)=qi′j​(0)−qi′j​(1)，且 q i ′j( 0 ) + q i ′j( 1 ) = 1{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(0)+{{q}_{{{i}^{‘}}j}}(1)=1qi′j​(0)+qi′j​(1)=1， q i j= ln ⁡q i j( 0 ) q i j( 1 ) {{q}_{ij}}=\ln \frac{{{q}_{ij}}(0)}{{{q}_{ij}}(1)}qij​=lnqij​(1)qij​(0)​， tanh ⁡ ( x ) =ex− e − xex+ e − x\tanh (x)=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}tanh(x)=ex+e−xex−e−x​，故可利用这几个公式对 r j i r_{ji}rji​进行化简。
希望读者可以静下心仔细推，不要惧怕公式。
r ji =2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i (1−2 qi′ j (1)))r_{ji}=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(1-2q_{i^{‘}j}(1))) rji​=2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(1−2qi′j​(1)))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i ( qi′ j (0)− qi′ j (1)))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(q_{i^{‘}j}(0)-q_{i^{‘}j}(1))) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(qi′j​(0)−qi′j​(1)))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i (qi′ j (0)− qi′ j (1) qi′ j (0)+ qi′ j (1) ))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(\frac{q_{i^{‘}j}(0)-q_{i^{‘}j}(1)}{q_{i^{‘}j}(0)+q_{i^{‘}j}(1)})) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(qi′j​(0)+qi′j​(1)qi′j​(0)−qi′j​(1)​))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i ( qi′ j (0) qi′ j (1) −1qi′ j (0) qi′ j (1) +1 ))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(\frac{\frac{q_{i^{‘}j}(0)}{q_{i^{‘}j}(1)}-1}{\frac{q_{i^{‘}j}(0)}{q_{i^{‘}j}(1)}+1})) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(qi′j​(1)qi′j​(0)​+1qi′j​(1)qi′j​(0)​−1​))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i (e q i ′j −1 e q i ′j +1 ))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(\frac{e^{q_{i^{‘}j}}-1}{e^{q_{i^{‘}j}}+1})) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(eqi′j​+1eqi′j​−1​))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i (eqi′ j 2 ( eqi′ j 2 − e − q i ′j2 ) eqi′ j 2 ( eqi′ j 2 + e − q i ′j2 ) ))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(\frac{e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}(e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}-e^{-\frac{q_{i^{‘}j}}{2}})}{e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}(e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}+e^{-\frac{q_{i^{‘}j}}{2}})})) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(e2qi′j​​(e2qi′j​​+e−2qi′j​​)e2qi′j​​(e2qi′j​​−e−2qi′j​​)​))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i (eqi′ j 2 − e − q i ′j2eqi′ j 2 + e − q i ′j2))=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}(\frac{e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}-e^{-\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}}{e^{\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}+e^{-\frac{q_{i^{‘}j}}{2}}})) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​(e2qi′j​​+e−2qi′j​​e2qi′j​​−e−2qi′j​​​))
=2tan h −1 ( ∏i′ ∈V(j)\i tanh q i ′j2)=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}tanh\frac{q_{i^{‘}j}}{2}) =2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​tanh2qi′j​​)
故校验节点传递给变量节点的信息可以化简为：
r j i= 2 t a n h − 1( ∏ i ′∈ V ( j ) \ it a n hqi′ j 2)r_{ji}=2tanh^{-1}(\prod\limits_{i^{‘}\in V(j)\backslash i}tanh\frac{q_{i^{‘}j}}{2})rji​=2tanh−1(i′∈V(j)\i∏​tanh2qi′j​​)
（3）变量节点传递给校验节点的外信息：
q ij =ln⁡P i(0) ∏j′ ∈C(i)\jrj′ i (0) P i ( 1 ) ∏j′ ∈C(i)\jrj′ i (1) =L( P i)+ ∑j′ ∈C(i)\jrj′ i {{q}_{ij}}=\ln \frac{{{P}_{i}}(0)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)\backslash j}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}(0)}{{{P}_{i}}\left( 1 \right)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)\backslash j}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}(1)}=L({{P}_{i}})+\sum\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)\backslash j}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}} qij​=lnPi​(1)j′∈C(i)\j∏​rj′i​(1)Pi​(0)j′∈C(i)\j∏​rj′i​(0)​=L(Pi​)+j′∈C(i)\j∑​rj′i​
（4）译码判决，经过迭代后变量节点的后验概率相应的修改为：
q ij =ln⁡P i(0) ∏j′ ∈C(i)rj′ i (0) P i ( 1 ) ∏j′ ∈C(i)rj′ i (1) =L( P i)+ ∑j′ ∈C(i)rj′ i {{q}_{ij}}=\ln \frac{{{P}_{i}}(0)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}(0)}{{{P}_{i}}\left( 1 \right)\prod\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}}(1)}=L({{P}_{i}})+\sum\limits_{{{j}^{‘}}\in C(i)}{{{r}_{{{j}^{‘}}i}}} qij​=lnPi​(1)j′∈C(i)∏​rj′i​(1)Pi​(0)j′∈C(i)∏​rj′i​(0)​=L(Pi​)+j′∈C(i)∑​rj′i​
故后验概率大于0，将 vi v_ivi​判决为0，反之判决为1。（对数值大于0，说明真数大于1，及分子对应的 vi v_ivi​为0的概率大于分母对应 vi v_ivi​为1的概率，故将 vi v_ivi​判决为0）