求函数f(x,y)在曲线C上的最大方向导数问题

方向导数：

在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且要设法求得函数在某点沿着其他特定方向上的变化率，这就是方向导数

方向导数的定义式和计算公式

1. 定义式：
   前提：三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 P 0( x 0, y 0, z 0)P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​) 的某空间邻域 U⊂ R 3U\subset R^3 U⊂R3 内有定义

   设 $l$ 为从点 P 0P_0 P0​ 出发的射线，$P(x,y,z)$为 $l$ 上且在 $U$ 内的任一点，t= (Δx ) 2+(Δy ) 2+(Δz ) 2 t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} t=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 ​，表示 $P$ 与 P 0P_0 P0​ 之间的距离。则：
   { x− x 0=Δx=tcos⁡αy− y 0=Δy=tcos⁡βz− z 0=Δz=tcos⁡γ \begin{cases}x-x_0=\Delta x=t\cos \alpha \\ y-y_0=\Delta y = t\cos \beta\\ z-z_{0}=\Delta z =t\cos\gamma \end{cases}⎩ ⎨ ⎧​x−x0​=Δx=tcosαy−y0​=Δy=tcosβz−z0​=Δz=tcosγ​
   则函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 P 0P_0 P0​ 沿方向 $l$ 的方向导数的定义式为：
   ∂ u ∂ l∣ P 0=lim ⁡ t → 0+u ( P ) − u ( P0)t=lim ⁡ t → 0+u ( x0+ t cos ⁡ α , y0+ t cos ⁡ β , z0+ t cos ⁡ γ ) − u ( x0, y0, z0)t \dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =\lim_{t\rightarrow 0^+} \dfrac{u(P)-u(P_0)}{t}\\ =\lim_{t\rightarrow 0^+} \dfrac{u(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\cos \beta,z_0+t\cos \gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}∂l∂u​∣P0​=t→0+lim​tu(P)−u(P0​)​=t→0+lim​tu(x0​+tcosα,y0​+tcosβ,z0​+tcosγ)−u(x0​,y0​,z0​)​

2. 计算式：
   前提：三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 P 0( x 0, y 0, z 0)P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​) 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 P 0P_0 P0​ 处沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在

   则函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 P 0P_0 P0​ 沿方向 $l$ 的方向导数的计算式为：
   ∂ u ∂ l∣ P 0= ux ′( P0) cos ⁡ α + uy ′( P0) cos ⁡ β + uz ′( P0) cos ⁡ γ\dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =u_x^{‘}(P_0)\cos \alpha+u_y^{‘}(P_0)\cos\beta+u_z^{‘}(P_0)\cos\gamma∂l∂u​∣P0​=ux′​(P0​)cosα+uy′​(P0​)cosβ+uz′​(P0​)cosγ
   其中，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为方向 $l$ 的方向余弦

方向导数与梯度的关系

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，
方向导数的计算公式：∂u∂l ∣ P 0= ux ′( P0) cos ⁡ α + uy ′( P0) cos ⁡ β + uz ′( P0) cos ⁡ γ\dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =u_x^{‘}(P_0)\cos \alpha+u_y^{‘}(P_0)\cos\beta+u_z^{‘}(P_0)\cos\gamma∂l∂u​∣P0​=ux′​(P0​)cosα+uy′​(P0​)cosβ+uz′​(P0​)cosγ
梯度的定义： gradu ∣ P 0= ( ux ′( P0) , uy ′( P0) , uz ′( P0) )\textbf{grad}\ u|_{P_0}=(u_x^{‘}(P_0),u_y^{‘}(P_0),u_z^{‘}(P_0))gradu∣P0​​=(ux′​(P0​),uy′​(P0​),uz′​(P0​))
可知：在 P0 P_0P0​点，函数沿$l$的方向导数=（函数在 P0 P_0P0​点的梯度）点乘（$l$ 的方向余弦）

一种题目的问法：求函数f在曲线C上的最大方向导数

原题：已知函数 $f(x,y)=x+y+xy$，曲线 C : x2+ y2+ x y = 3C:x^2+y^2+xy=3C:x2+y2+xy=3，求 $f(x,y)$ 在曲线 $C$上的最大方向导数。

解题思路：可转化为求解梯度的模的条件极值问题

原来的错误想法：函数f在某点增长最快的方向是梯度方向，但这题问的是求f在曲线C上的最大方向导数，也就是要沿着曲线C切向量的方向的最大方向导数。那么就有一个问题，如何才能保证C上有这么一个点，其切向量的方向就是f的梯度方向呢

解答：想复杂了。函数f在曲线C上每一点都有无数个方向导数，其中方向向量模最大的那个就死活梯度，也就是函数f在曲线C上每一点都有一个梯度，求的是这些梯度中最大的那个。并不是一定要沿着C的方向（那要是这么说，沿着C还有两个方向呢）。所以这里的曲线C，只是用来限定函数f的自变量$(x,y)$的取值范围的，直接将f的梯度表达式列出来，然后取条件为C的极值即可。

原题是15年题目