文章目录
- Logistic（Logistic Regression,LR）回归
- 原理讲解
- 参数计算
- python代码实现
- 生成数据集
- 不使用其他库实现
- 定义激活函数（标准Logistic函数即Sigmoid函数）
- 定义LogisticRegression类
- 调用LogisticRegression类解决分类问题
- 使用sklearn库
- 拓展
Logistic（Logistic Regression,LR）回归
原理讲解
在模式识别问题中，所关心的量是分类，比如是否会患有某种疾病，这时就不能用简单的线性回归来完成这个问题了。为了解决次问题，我们引入了非线性激活函数 g : RD→ ( 0 , 1 )g:{\mathbb R}^D\to(0,1)g:RD→(0,1)来预测类别标签的后验概率 p ( y = 1 ∣ x) p(y=1|\bf x)p(y=1∣x)，其中 y ∈ { 0 , 1 }y\in\{0,1\}y∈{0,1}，函数 ggg的作用是把线性函数的值域从实数区间挤压到0和1之间
在Logistic回归中，激活函数的表达式为：σ(x)= 1 1+ e −x\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} σ(x)=1+e−x1
标签 y = 1y=1y=1的后验概率为p(y=1∣x)=σ( w Tx)= 1 1+ e − w Tx⋯(1)p(y=1|{\bf x})=\sigma({\bf w}^{\rm T}{\bf {x}})=\frac{1}{1+e^{-{\bf w}^{\rm T}{\bf {x}}}}\cdots(1) p(y=1∣x)=σ(wTx)=1+e−wTx1⋯(1)
这里， x = [ x1, ⋯ , xD, 1 ]T {\bf x}=[x_1,\cdots,x_D,1]^{\rm T}x=[x1,⋯,xD,1]T和 w = [ w1, ⋯ , wD, b ]T {\bf w}=[w_1,\cdots,w_D,b]^{\rm T}w=[w1,⋯,wD,b]T分别为D+1维的增广特征向量与增广权重向量
标签 y = 0y=0y=0的后验概率为p(y=0∣x)=1−p(y=1∣x)= e − wTx1+ e − w Txp(y=0|{\bf x})=1-p(y=1|{\bf x})=\frac{e^{-{\bf w}^{\rm T}{\bf {x}}}}{1+e^{-{\bf w}^{\rm T}{\bf {x}}}} p(y=0∣x)=1−p(y=1∣x)=1+e−wTxe−wTx
对式（1）进行变换后得到 w Tx=log p(y=1∣x)1−p(y=1∣x) =log p(y=1∣x)p(y=0∣x) {\bf w}^{\rm T}{\bf {x}}=\log \frac{p(y=1|{\bf x})}{1-p(y=1|{\bf x})}=\log \frac{p(y=1|{\bf x})}{p(y=0|{\bf x})} wTx=log1−p(y=1∣x)p(y=1∣x)=logp(y=0∣x)p(y=1∣x)上式左边为线性函数，右边为正反后验概率比值（几率）取对数，因此Logistic回归也称为对数几率回归
参数计算
LR采用交叉熵作为损失函数，使用梯度下降进行优化
假设存在N个训练样本 { ( x ( n ), y ( n )) } n = 1N \{({\bf x}^{(n)},y^{(n)})\}_{n=1}^N{(x(n),y(n))}n=1N，采用LR回归模型对每个样本 x ( n ) {\bf x}^{(n)}x(n)进行预测，输出其标签为1的后验概率，记为y ^ ( n ) {\hat y}^{(n)}y^(n)，即 y^(n) =σ( w T x (n) ),1≤n≤N{\hat y}^{(n)}=\sigma({\bf w}^{\rm T}{\bf {x}}^{(n)}),1\leq n\leq N y^(n)=σ(wTx(n)),1≤n≤N
由于 y ( n )∈ { 0 , 1 }y^{(n)}\in\{0,1\}y(n)∈{0,1}，样本 ( x ( n ), y ( n ))({\bf x}^{(n)},y^{(n)})(x(n),y(n))的真实条件概率可以表示为 p r( y (n) =1∣ x (n) )= y (n) ,p_r(y^{(n)}=1|{\bf x}^{(n)})=y^{(n)}, pr(y(n)=1∣x(n))=y(n), p r( y (n) =0∣ x (n) )=1− y (n) p_r(y^{(n)}=0|{\bf x}^{(n)})=1-y^{(n)} pr(y(n)=0∣x(n))=1−y(n)
采用交叉熵损失函数，其风险函数为R(w)=− 1 N ∑ n=1N ( pr( y ( n )= 1 ∣ x ( n )) log y ^ ( n )+ pr( y ( n )= 0 ∣ x ( n )) log ( 1 −y ^ ( n )) ) =− 1 N ∑ n=1N ( y ( n )log y ^ ( n )+ ( 1 − y ( n )) log ( 1 −y ^ ( n )) ){\mathcal R}({\bf w})=-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \left(p_r(y^{(n)}=1|{\bf x}^{(n)})\log {\hat y}^{(n)}+p_r(y^{(n)}=0|{\bf x}^{(n)})\log (1-{\hat y}^{(n)})\right) \\ =-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\left(y^{(n)}\log {\hat y}^{(n)}+(1-y^{(n)})\log (1-{\hat y}^{(n)}) \right) R(w)=−N1n=1∑N(pr(y(n)=1∣x(n))logy^(n)+pr(y(n)=0∣x(n))log(1−y^(n)))=−N1n=1∑N(y(n)logy^(n)+(1−y(n))log(1−y^(n)))
风险函数关于参数 w\bf ww的偏导数为 ∂R(w)∂w =− 1 N ∑ n=1N ( y ( n )y ^ ( n )( 1 −y ^ ( n )) y^(n) x ( n )− ( 1 − y ( n )) y ^ ( n )( 1 −y ^ ( n )) 1 −y ^ ( n ) x ( n )) =− 1 N ∑ n=1N ( y ( n )( 1 −y ^ ( n )) x ( n )− ( 1 − y ( n ))y ^ ( n )x ( n )) =− 1 N ∑ n=1N x (n) ( y (n) − y^(n) )\frac{\partial {\mathcal R}({\bf w})}{\partial {\bf w}}=-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\left(y^{(n)}\frac{{\hat y}^{(n)}(1-{\hat y}^{(n)})}{{\hat y}^{(n)}}{\bf x}^{(n)}-(1-y^{(n)})\frac{{\hat y}^{(n)}(1-{\hat y}^{(n)})}{1-{\hat y}^{(n)}}{\bf x}^{(n)} \right) \\ =-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\left(y^{(n)}(1-{\hat y}^{(n)}){\bf x}^{(n)}-(1-y^{(n)}){\hat y}^{(n)}{\bf x}^{(n)} \right) \\ =-\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N{\bf x}^{(n)}(y^{(n)}-{\hat y}^{(n)}) ∂w∂R(w)=−N1n=1∑N(y(n)y^(n)y^(n)(1−y^(n))x(n)−(1−y(n))1−y^(n)y^(n)(1−y^(n))x(n))=−N1n=1∑N(y(n)(1−y^(n))x(n)−(1−y(n))y^(n)x(n))=−N1n=1∑Nx(n)(y(n)−y^(n))
由此我们可以采用梯度下降法更新参数最终得到合适的参数 w\bf ww
python代码实现
生成数据集
我们通过下面的代码自行生成一个样本数量为100的数据集
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 设置随机种子，以便结果可复现np.random.seed(42)# 生成随机数据# 两个特征的均值和方差mean_1 = [2, 2]cov_1 = [[2, 0], [0, 2]]mean_2 = [-2, -2]cov_2 = [[1, 0], [0, 1]]# 生成类别1的样本X1 = np.random.multivariate_normal(mean_1, cov_1, 50)y1 = np.zeros(50)# 生成类别2的样本X2 = np.random.multivariate_normal(mean_2, cov_2, 50)y2 = np.ones(50)# 合并样本和标签X = np.concatenate((X1, X2), axis=0)y = np.concatenate((y1, y2))# 绘制散点图plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.Set1, edgecolor='k')plt.xlabel('Feature 1')plt.ylabel('Feature 2')plt.title('Logistic Regression Dataset')plt.show()运行结果如下图所示
图中，类别1为右上部分，标签为0；类别2为左下部分，标签为1
不使用其他库实现
定义激活函数（标准Logistic函数即Sigmoid函数）
def sigmoid(x):if x>0:return 1.0/(1.0+np.exp(-x))else:return np.exp(x)/(1.0+np.exp(x))定义LogisticRegression类
class LogisticRegression:def __init__(self, learning_rate=0.01, num_iterations=1000):self.learning_rate = learning_rateself.num_iterations = num_iterationsself.weights = Noneself.bias = Nonedef fit(self, X, y):num_samples, num_features = X.shape# 初始化权重和偏置self.weights = np.zeros(num_features)self.bias = 0# 梯度下降for _ in range(self.num_iterations):linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = sigmoid(linear_model)dw = (1 / num_samples) * np.dot(X.T, (y_pred - y))db = (1 / num_samples) * np.sum(y_pred - y)self.weights -= self.learning_rate * dwself.bias -= self.learning_rate * dbdef predict_prob(self, X):linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = sigmoid(linear_model)return y_preddef predict(self, X, threshold=0.5):y_pred_prob = self.predict_prob(X)y_pred = np.zeros_like(y_pred_prob)y_pred[y_pred_prob >= threshold] = 1return y_pred调用LogisticRegression类解决分类问题
# 创建 Logistic 回归模型logreg = LogisticRegression()# 训练模型logreg.fit(X, y)# 预测样本X_new = np.array([[2.5, 2.5], [-6.0, -4.0]])y_pred_prob = logreg.predict_prob(X_new)y_pred = logreg.predict(X_new)print("Predicted Probabilities:", y_pred_prob)print("Predicted Labels:", y_pred)输出结果为
预测样本1（2.5，2.5）位于右上部分属于类别1，真实标签为0；预测样本2（-6，-4）位于左下部分属于类别2，真实标签为1，对比输出结果可知，该分类器已训练得合适参数，可完成分类任务
使用sklearn库
我们可以通过使用sklearn库来简洁地实现LR
import numpy as npfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn.metrics import accuracy_score#所使用数据集同上X，y# 划分训练集和测试集X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建Logistic回归模型logreg = LogisticRegression()# 训练模型logreg.fit(X_train, y_train)# 预测测试集y_pred = logreg.predict(X_test)# 计算预测准确率accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)print("Accuracy:", accuracy)最终测试集上计算得到的准确率accuracy为1，可见该分类器的效果非常好
拓展
logistic回归可以用于分类非线性可分的数据。尽管logistic回归本身是一个线性分类器，但可以通过引入多项式特征、交互特征、组合特征等方法来扩展其能力，从而处理非线性的分类问题。
具体来说，可以通过特征工程的方式将原始特征进行变换，以引入非线性关系。例如，可以通过添加多项式特征，将原始特征的高阶项加入到模型中，例如原始特征的平方项、立方项等。还可以引入交互特征，将不同特征之间的乘积或分割点（例如，做差或做除）作为新的特征。
通过引入这些非线性特征，logistic回归可以更好地捕捉到数据中的非线性关系，从而能够更好地分类非线性可分的数据。需要注意的是，在引入非线性特征时，可能需要进行正则化或其他模型调优技巧，以避免过拟合问题。