前言

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本文整理了从模型，到损失，再到损失关于权值的梯度的一些思路
希望和大家一起加油，一起进步！

文章目录

• 前言
• 1. 模型
• 2. 损失
• 3. 损失loss关于权值W的梯度
• 4. 求梯度——数值梯度
• 5. 梯度下降中的小批量

1. 模型

神经网络的模型可以就看作为一个函数，模型学习（训练）的过程，就可以看成是给函数寻找合适的参数的过程。比如，下面就是一个简单的模型，它所表示的函数就是 $y=w1x1+w2x2$

这个函数在两个侧面的投影，就是 $y=w1x1$ 和 $y=w2x2$。学习一个多元函数，可以看成是分别学习多个一元的函数。

2. 损失

损失，也就是模型和数据的不贴合程度。
衡量损失常用的一个函数是均方损失函数： l o s s = ∑ i = 1 n ( y i ^ − y i ) 2 loss=\displaystyle\sum_{i=1}^n(\hat{y_{i}}-y_{i})^2 loss=i=1∑n​(yi​^​−yi​)2，其中 n 为数据点数量。
函数也可以写成 l o s s = ∑ i = 1 n ( W X i − y i ) 2 loss=\displaystyle\sum_{i=1}^n(WX_{i}-y_{i})^2 loss=i=1∑n​(WXi​−yi​)2，其中 W 为模型的所有权值， X i X_{i} Xi​ 为第 i 个数据点的所有自变量。

既然衡量损失有了一个确定的函数，那训练模型的过程就可以变成一个最小化损失的过程，方法就是不断地改变权值W，使函数关于所有这些数据点的损失（或者说平均损失）不断变小。

3. 损失loss关于权值W的梯度

通常来说，应该函数的权值 W 是固定的，而数据的特征 X 作为自变量。但我们是要通过一个固有的数据集，来优化权值W，所以在优化过程中，我们要把损失函数$loss$中的W看作自变量。

然后我们求 $loss$ 关于 $W$ 的梯度，遵循着梯度的指引来改变 $W$。

如果某个权值的梯度是正的，说明随着权值$w$的增大，损失$loss$也会增大。那我们为了让损失变小，就要减小$w$的值。
同样，如果梯度是负的，我们就要增大对应的权值。

$W$ 中的每个 $w$ 的移动，可以看成是相对独立、互不干扰的。更新一个有很多权值的复杂模型，就成了很多重复的这样更新单个权值的操作。

4. 求梯度——数值梯度

在具体求梯度的过程中，计算机本身是不会公式演算的。但我们并不需要对损失函数求出梯度的表达式，而只需求函数在每个 权值$w$处的梯度值。

数值梯度的方法，就人为地设置了一个确定的微小值 $h$，比如 1 0 − 5 10^{-5} 10−5（具体根据实际需要）。
l o s s g = l o s s ( w + h ) − l o s s ( w − h ) 2 h loss_ g = {loss(w+h)-loss(w-h) \over 2h} lossg​=2hloss(w+h)−loss(w−h)​

因此，我们更新 $w$ 的方式，就像是先试探着往一个方向走一小步，如果发现合适，就再往那个方向走一大步；否则，就往反方向走。

5. 梯度下降中的小批量

小批量随机梯度下降法是机器学习中一种常用的方法，为什么要用到小批量？

前面每次计算损失，都是计算模型函数关于整个样本数据集的损失。那么在样本数据很大时，比如十万、百万的数据量时，这样计算资源的消耗就太大了，而且是不必要的。

使用小批量，就是起到部分代表整体的作用。我们假装一个小批量，就体现着整个数据集的特征。然而这难免有些片面性，通过小批量所指引的 $w$ 前进的方向，有可能从整个的数据集中来看并不是恰当的方向。因此，我们把一个数据集划分成许多个小批量后，每个小批量都会使用，且会进行多轮（多个周期）的训练，以将整个数据集的特征都充分展现出来。

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