目录

  • GAN
    • 生成网络G(Generative)
    • 对抗网络D(Discriminative)
    • 两分布之间差异性评价
      • KL散度
      • JS散度
    • 损失函数
    • 一次代码实验
  • WGAN
  • WGAN-GP
  • Conditional GAN

GAN

生成式对抗网络(GAN, Generative Adversarial Networks)是一种深度学习模型。主要包括两部分:生成模型判别模型。也就是对应神经网络的生成器与判别器:

  1. 生成器G(Generator):通过生成器G生成数据。
  2. 判别器D(Discriminator):判断这张图像是真实的还是机器生成的,目的是判别数据是否是生成器做的“假数据”

生成器与判别器互相对抗,不断调整参数。最终的目的是使判别网络无法判断生成网络的输出结果是否真实。

生成器G是一个生成图片的网络,它接收一个随机的噪声zz z,通过这个噪声生成图片,生成的图片记做G(z)G(z) G(z)

判别器D判别一张图片是不是“真实的”。它的输入是 xx xxx x代表一张图片(其中,xx x包含生成图片和真实图片,对于生成图片有 x=G(z)x=G(z) x=G(z)),输出D(x)D(x) D(x)代表xx x为真实图片的概率,如果为1,就代表100%是真实的图片,而输出为0,就代表图片0%是真的(或者说100%是假的)

其中网络结构如下所示:

其中,真实数据分布中的数据与生成数据可以认为是相同形状的。

生成网络G(Generative)

生成网络从隐空间(latent space)中随机采样作为输入,其输出结果需要尽量模仿训练集中的真实样本。

对抗网络D(Discriminative)

对抗网络也可称判别网络,判别网络的输入则为真实样本或生成网络的输出,其目的是将生成网络的输出从真实样本中尽可能分辨出来。

两分布之间差异性评价

真实数据分布中的数据 xxx 服从分布 x ∼ P d a t a( x )x \sim P_{data} (x)xPdata(x),生成数据分布中的数据 xxx 服从分布 x ∼ PG( x ; θ )x \sim P_{G} (x;\theta)xPG(x;θ)

那么衡量两个分布之间的差异性指标有:KL散度,JS散度,交叉熵和Wasserstein距离。

KL散度

离散概率分布的KL散度计算公式:
KL(p∥q)=∑p(x)log⁡ p(x)q(x) K L(p \| q)=\sum p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} KL(pq)=p(x)logq(x)p(x)
连续概率分布的KL散度计算公式:
KL(p∥q)=∫p(x)log⁡ p(x)q(x) dxK L(p \| q)=\int p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} d x KL(pq)=p(x)logq(x)p(x)dx

JS散度

JS(p∥q)= 1 2KL ( p ∥p + q2)+ 1 2KL ( q ∥p + q2)J S(p \| q)=\frac{1}{2} K L\left(p \| \frac{p+q}{2}\right)+\frac{1}{2} K L\left(q \| \frac{p+q}{2}\right) JS(pq)=21KL(p2p+q)+21KL(q2p+q)

损失函数

以分布的角度来看GAN网络结构,然后考虑其损失函数。

对于生成网络G,其输入的 zzz z ∼ N ( 0 , I )\mathbf{z} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})zN(0,I),表示 zzz 服从正态分布的数据),通过训练出来的参数 θ\thetaθ 的生成网络生成的图片为 G ( z , θ )G(\mathbf{z},\theta)G(z,θ)

对于判别网络,可以认为是二分类问题,一类是生成网络的输出,即 x g e n e r a t i v e= G ( z , θ )x_{generative} = G(\mathbf{z},\theta)xgenerative=G(z,θ);另一类是真实数据 x r e a l x_{real}xreal,(其中, x r e a l∼ D r e a l x_{real} \sim D_{real}xrealDreal ,表示 x r e a l x_{real}xreal 服从一种真实的分布distribution)。将 xxx (其中, x = x g e n e r a t i v e∪ x r e a l x = x_{generative} \cup x_{real}x=xgenerativexreal) 数据输入到判别网络中,输出结果分别为:

  1. D( x real ,ϕ)D(\mathbf{x_{real}}, \phi) D(xreal,ϕ)
  2. D( x generative ,ϕ)=D(G(z,θ),ϕ)D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi) D(xgenerative,ϕ)=D(G(z,θ),ϕ)

分别从生成网络和判别网络的角度来看:

  1. 对于生成网络的标准就是:我希望我生成的图片越接近真实越好,那么也就是使 D ( x g e n e r a t i v e, ϕ ) = D ( G ( z , θ ) , ϕ )D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi)D(xgenerative,ϕ)=D(G(z,θ),ϕ) 越接近1越好。也就是训练生成网络中的参数 θ\thetaθ 满足:
    max⁡θ ( E z ∼ p ( z )[ log ⁡ D ( G ( z ; θ ) ; ϕ ) ] )\max _{\theta}\left(\mathbb{E}_{z \sim p(z)}[\log D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi)]\right) θmax(Ezp(z)[logD(G(z;θ);ϕ)])

  2. 对于判别网络的标准就是:我能够很好的区分哪些是真的,哪些是假的。也就是说能够很好的将真的和假的区分开来。也就是希望真实数据的输出 D ( x r e a l, ϕ )D(\mathbf{x_{real}}, \phi)D(xreal,ϕ) 越趋近于1,而生成数据的输出 D ( x g e n e r a t i v e, ϕ ) = D ( G ( z , θ ) , ϕ )D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi)D(xgenerative,ϕ)=D(G(z,θ),ϕ) 越趋近于0。

    将其看成二分类问题,二分类问题的损失函数可以使用交叉熵损失函数来表示,对于二分类,只有正样本(label=1)与负样本(label=0)。并且两者概率之和为1。对于一个输入xx x,经过模型输出为p(x)p(x) p(x)。y是真实的标签。于是单个样本的损失函数就是:
    L O S S = − y ∗ l o g ( p ( x ) ) + ( 1 − y ) l o g ( 1 − p ( x ) )LOSS = -y * log(p(x)) + (1-y)log(1-p(x))LOSS=ylog(p(x))+(1y)log(1p(x))
    如果是计算 N 个样本的平均损失函数,只要将 N 个 Loss 叠加起来再除以N就行:
    L O S S = 1N∑ i = 1Ny ( i )log ⁡ (p ( x ) ( i )) + (1− y (i) )log ⁡ (1− p(x)(i) ) LOSS=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y^{(i)} \log ({p(x)}^{(i)})+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-{p(x)}^{(i)}\right)LOSS=N1i=1Ny(i)log(p(x)(i))+(1y(i))log(1p(x)(i))

    对于 x ∼ p d a t a( x )x \sim p_{data}(x)xpdata(x) 的输出 D ( x ; ϕ )D(x; \phi)D(x;ϕ)是真实的,也就是标签为1,那么其单个样本损失函数就是:
    LOSS=−1∗log⁡D(x;ϕ)+(1−1)(1−log⁡D(x;ϕ))=−log⁡D(x;ϕ)LOSS = -1 * \log D(\boldsymbol{x} ; \phi) + (1-1)(1- \log D(\boldsymbol{x} ; \phi)) = – \log D(\boldsymbol{x} ; \phi) LOSS=1logD(x;ϕ)+(11)(1logD(x;ϕ))=logD(x;ϕ)
    平均损失函数就是(其实就是求平均):
    LOSS=− E x∼ p data (x) [log⁡D(x;ϕ)]LOSS = – \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{data}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x} ; \phi)] LOSS=Expdata(x)[logD(x;ϕ)]
    那么对于 z ∼ p ( z )z \sim p(z)zp(z) 的输出 D ( G ( z ; θ ) ; ϕ ) )D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))D(G(z;θ);ϕ))是假的,也就是标签为0,那么其单个样本损失函数就是:
    LOSS=0∗D(G(z;θ);ϕ))+(1−0)(1−D(G(z;θ);ϕ)))=1−D(G(z;θ);ϕ))LOSS = 0*D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))+(1-0)(1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))) = 1 – D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi)) LOSS=0D(G(z;θ);ϕ))+(10)(1D(G(z;θ);ϕ)))=1D(G(z;θ);ϕ))
    平均损失函数就是:
    LOSS=− E z∼p(z) [log⁡(1−D(G(z;θ);ϕ))]LOSS = – \mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))] LOSS=Ezp(z)[log(1D(G(z;θ);ϕ))]
    由于上面损失函数是负数,并且需要最小化损失函数,那么反过来的最大化损失函数就是:
    max⁡ϕ E x∼ p data (x) [log⁡D(x;ϕ)]+ E z∼p(z) [log⁡(1−D(G(z;θ);ϕ))]\max _{\phi} \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{data}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x} ; \phi)]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))] ϕmaxExpdata(x)[logD(x;ϕ)]+Ezp(z)[log(1D(G(z;θ);ϕ))]

在训练过程中,当G固定的时候,有:
E z∼p(z) [log⁡(1−D(G(z;θ);ϕ))]= E x∼ p g(x) [log⁡(1−D(x;ϕ))]\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{g} (\boldsymbol{x})}[\log (1-D(x; \phi))] Ezp(z)[log(1D(G(z;θ);ϕ))]=Expg(x)[log(1D(x;ϕ))]
全局优化首先固定G,然后优化D(这种情况也就是生成数据的分布 x ∼ pg( x )\boldsymbol{x} \sim p_{g} (\boldsymbol{x})xpg(x) 与真实分布 x ∼ p d a t a( x )\boldsymbol{x} \sim p_{data} (\boldsymbol{x})xpdata(x)已知),D的最佳情况为:(推导可以看GAN入门理解及公式推导 – 知乎 (zhihu.com))
D G ∗(x)=p data(x) p data(x)+ p g(x) D_{G}^{*}(\boldsymbol{x})=\frac{p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}{p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})+p_{g}(\boldsymbol{x})} DG(x)=pdata(x)+pg(x)pdata(x)
将最佳的D代入目标loss函数,有:
=−2log⁡2+2 D JS( Pdata∥ Pg)=-2 \log 2+2 D_{JS}\left(P_{\text {data }} \| P_{g}\right) =2log2+2DJS(PdataPg)
也就是说,原始GAN的loss实际上等价于JS散度

一次代码实验

很多的GAN网络结构代码可以参考:PyTorch-GAN

其中一个网络结构如下:

在实验中,对应的形状如下所示:

  1. 高斯随机变量:torch.Size([batch_size, 100])
  2. 生成的fake_image, 真实image:torch.Size([batch_size, 3,64,64])
  3. 判别真假:torch.Size([batch_size, 1])

代码如下:

生成网络代码

class Generator(nn.Module):def __init__(self):super(Generator, self).__init__()def block(in_feat, out_feat, normalize=True):layers = [nn.Linear(in_feat, out_feat)]if normalize:layers.append(nn.BatchNorm1d(out_feat, 0.8))layers.append(nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True))return layersself.model = nn.Sequential(*block(opt.latent_dim, 128, normalize=False),*block(128, 256),*block(256, 512),*block(512, 1024),nn.Linear(1024, int(np.prod(img_shape))),nn.Tanh())def forward(self, z):img = self.model(z)img = img.view(img.shape[0], *img_shape)return img

对抗网络代码

class Discriminator(nn.Module):def __init__(self):super(Discriminator, self).__init__()self.model = nn.Sequential(nn.Linear(int(np.prod(img_shape)), 512),nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),nn.Linear(512, 256),nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),nn.Linear(256, 1),)

然后在Anime_Faces数据集中训练,获得的1000个epochs后生成的数据有:

感觉效果不太行,估计是网络结构的局限性。

WGAN

参考论文:[1701.07875] Wasserstein GAN (arxiv.org)

在生成对抗网络中,当判断网络为最优时,生成网络的优化目标是最小化真实分布 p r(x)p_r (x) pr(x) 和模型分布 p θ(x)p_θ (x) pθ(x) 之间的JS散度。当两个分布相同时,JS散度为0,最优生成网络对应的损失为−2log2。但是使用JS散度来训练生成对抗网络的一个问题是当两个分布没有重叠时,它们之间的JS散度恒等于常数log2。对生成网络来说,目标函数关于参数的梯度为0

在GAN的基础上加入了Wasserstein距离,Wasserstein距离用于衡量两个分布之间的距离。相比KL散度和JS散度的优势在于即使两个分布没有重叠或者重叠非常少,Wasserstein距离仍然能反映两个分布的远近。其数学公式如下:
W p ( q1, q2)= ( inf⁡γ(x,y)∈Γ ( q1, q2)E (x,y)∼γ(x,y)[ d ( x , y )p])1p W_{p}\left(q_{1}, q_{2}\right)=\left(\inf _{\gamma(x, y) \in \Gamma\left(q_{1}, q_{2}\right)} \mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma(x, y)}\left[d(x, y)^{p}\right]\right)^{\frac{1}{p}} Wp(q1,q2)=(γ(x,y)Γ(q1,q2)infE(x,y)γ(x,y)[d(x,y)p])p1
其中 , Γ ( q 1, q 2) \Gamma\left(q_{1}, q_{2}\right)Γ(q1,q2) 是边际分布为 q1, q2 q_{1}, q_{2}q1,q2 的所有可能的联合分布集合, d ( x , y )\mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y})d(x,y) x\mathrm{x}x y\mathrm{y}y 的 距离, 比如 ℓp \ell_{p}p 距离等, E\mathbb{E}E 表示期望, inf ⁡\infinf表示下确界。

下确界,如果是一个集合的下确界, 即表示小于或等于集合E的所有其他元素的最大元素, 这个数不一定在集合E中。举例来说:

  1. i n f { 1 , 2 , 3 } = 1inf\{1,2,3\} = 1inf{1,2,3}=1; 也就是说集合 { 1 , 2 , 3 }\{1,2,3\}{1,2,3}的下确界为1
  2. i n f { x ∈ R , 0 < x < 1 } = 0inf\{x \in \mathbb{R}, 0<x<1 \} = 0inf{xR,0<x<1}=0 ;
  3. i n f { ( − 1 )n+ 1 / n : n = 1 , 2 , 3 , . . . } = − 1inf\{(-1)^{n} + 1/n : n = 1, 2, 3,…\} = -1inf{(1)n+1/n:n=1,2,3,...}=1;

当然,换一种角度解读:将两个分布看作是两个土堆,联合分布 γ ( x , y )\gamma(x, y)γ(x,y) 看作是从土堆 q1 q_1q1 的位置 xxx 到土堆 q2 q_2q2 的位置 yyy 的搬运土的数量。Wasserstein距离可以理解为搬运土堆的最小工作量,也称为推土机距离(Earth-Mover’s Distance,EMD)

WGAN-GP

参考论文:[1704.00028] Improved Training of Wasserstein GANs (arxiv.org)

WGAN还是有问题:

  • 权重裁剪会导致参数基本都在限制的边界值,极大浪费了模型的参数。
  • 还是很容易梯度消失或者梯度爆炸,需要仔细的调参

WGAN-GP,核心只有一个:Gradient Penalty

Gradient Penalty:判别器相对于输入的梯度的二范数要约束在1附近,这样就能够保证Lipschitz连续。

# 计算Gradient Penaltydef compute_gradient_penalty(D, real_samples, fake_samples):"""Calculates the gradient penalty loss for WGAN GP"""# Random weight term for interpolation between real and fake samplesalpha = Tensor(np.random.random((real_samples.size(0), 1, 1, 1)))# Get random interpolation between real and fake samplesinterpolates = (alpha * real_samples + ((1 - alpha) * fake_samples)).requires_grad_(True)d_interpolates = D(interpolates)fake = Variable(Tensor(real_samples.shape[0], 1).fill_(1.0), requires_grad=False)# Get gradient w.r.t. interpolatesgradients = autograd.grad(outputs=d_interpolates,inputs=interpolates,grad_outputs=fake,create_graph=True,retain_graph=True,only_inputs=True,)[0]gradients = gradients.view(gradients.size(0), -1)gradient_penalty = ((gradients.norm(2, dim=1) - 1) ** 2).mean()return gradient_penalty

Conditional GAN

条件GAN,顾名思义就是根据条件针对性的生成数据。具体有AC-GAN。